Uma bola é atirada em um ângulo de elevação 45^circ em relaçao ao solo. A única força envolvida é a força gravitacional Fg. Se a bola cai no solo a uma distância de 90 m , qual a velocidade escalar inicial v0. Use g=10 m / s^2. (Dica: É um problema vetorial! Segunda Lei da Newton F=m a, decomponha v0=(v0 cos 45, v0 sen 45).)

Passo 1

O enunciado descreve um lançamento oblíquo de uma bola com ângulo de elevação de 45° em relação ao solo, sujeita apenas à gravidade (g=10 m/s²). Queremos achar a velocidade escalar inicial v₀ a partir do alcance horizontal de 90 m. Vamos usar decomposição vetorial da velocidade e as equações do movimento horizontal e vertical.

Passo 2

Decompondo o vetor velocidade inicial e identificando a aceleração pelo vetor força:
As componentes de vec v0 são
vec v0 = l(v0cos45^circ,;v0sin45^circr)
E, pela 2ª Lei de Newton ( mvec a= mvec g), temos
vec a=(0,-g).

Passo 3

Na direção vertical, a posição y(t) varia segundo
y(t)=v0sin45^circ,t-12,g,t^2
Como a bola retorna ao solo em y=0 (além de t=0), o tempo total de voo T satisfaz:
0= v0sin45^circ,T-12,g,T^2Rightarrow T=2v0sin45^circg=v0raiz2g

Passo 4

Na direção horizontal, não há aceleração, então
x(t)=v0cos45^circ,t
Substituindo t=T, obtemos o alcance R:
R=v0cos45^circcdotv0raiz2g=v0^2g

Passo 5

Igualando o alcance ao valor dado ( R=90 m) e usando g=10 m/s², temos
90=v0^210Rightarrow v0^2=900Rightarrow v0=30 m/s

Resposta

30 m/s

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