Esboce a curva polar r=sen 2 theta.

Passo 1

O enunciado pede pra gente desenhar a curva polar dada por r=sin 2theta. Aqui o conteúdo é o gráfico de rosas em coordenadas polares, onde funções do tipo r=sin(ntheta) geram pétalas. Vamos usar isso pra entender quantas pétalas surgem e onde elas ficam.

Passo 2

Primeiro, identificamos os zeros de r. Como r=sin2theta, temos zeros sempre que sin2theta=0, isto é, quando 2theta=kpi para kinZ. Logo
2theta=kpiRightarrowtheta=kpi2,,
esses valores de theta vão ser as “fronteiras” de cada pétala.

Passo 3

Em seguida, achamos onde r é máximo. O seno fica 1 quando 2theta=tfracpi2+2pi m, ou seja
theta=pi4+pi m,,e o valor máximo é rmax=1. Esses ângulos dão as pontas das pétalas.

Passo 4

Como n=2 é par, a rosa r=sin2theta tem 2n=4 pétalas. Duas pétalas vêm de sin2theta>0 (em dois intervalos de comprimento pi/2), e duas vêm de sin2theta<0 (essas geram r negativo, deslocando o ângulo em pi, completando as quatro).
Ao analisar os ângulos das pontas theta=pi/4,3pi/4,5pi/4,7pi/4 e o fato de cada pétala atingir r=1, concluímos que o esboço é uma rosa de quatro pétalas simétrica em relação aos eixos.

Passo 5

Pronto! Basta desenhar no papel cada pétala com comprimento máximo 1, centradas nas direções 45^circ,135^circ,225^circ e 315^circ, ligando suavemente entre elas para obter a curva completa.

Resposta

A curva é uma rosa de quatro pétalas de comprimento 1, com as pétalas apontando para os ângulos pi/4,3pi/4,5pi/4 e 7pi/4.

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