Utilizando integrais triplas, calcule I=integral tripla z d V, no tetraedro sólido T, determinado pelos planos: x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.
Faça um esboço deste tetraedro no espaço tridimensional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla $ I = \iiint z , dV $ sobre um tetraedro sólido $ T $ definido pelos planos $ x + y + z = 1 $, $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ z = 0 $. Esse exercício envolve conceitos de cálculo integral em três dimensões, especialmente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e como montar a integral tripla corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o tetraedro $ T $. Ele é formado pelos planos $ x + y + z = 1 $, que é um plano inclinado, e pelos planos coordenados $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ z = 0 $, que são os planos dos eixos. Esse tetraedro tem quatro vértices: a origem $ (0,0,0) $ e os pontos onde cada plano intercepta os eixos, que são $ (1,0,0) $, $ (0,1,0) $ e $ (0,0,1) $.

Passo 3

Agora, para calcular a integral tripla, precisamos definir os limites de integração para $ x $, $ y $ e $ z $. Vamos começar por $ z $. No plano $ x + y + z = 1 $, podemos resolver para $ z $:
x
Isso nos dá o limite superior para $ z $. O limite inferior é $ z = 0 $.

Passo 4

Em seguida, vamos definir os limites para $ y $. Para um valor fixo de $ x $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ 1 - x $ (já que $ y + z = 1 - x $ e $ z \geq 0 $).

Passo 5

Finalmente, $ x $ varia de $ 0 $ a $ 1 $, já que o ponto mais distante no eixo $ x $ é $ (1,0,0) $.

Passo 6

Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla:
I = integral0^1 integral0^1 - x integral0^1 - x - y z , dz , dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a $ z $:
z

Passo 8

Substituímos o resultado na integral do meio:
I = integral0^1 integral0^1 - x (1 - x - y)^22 , dy , dx
Podemos fatorar o $ \frac{1}{2} $:
12

Passo 9

Agora, resolvemos a integral em relação a $ y $. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Deixe $ u = 1 - x - y $, então $ du = -dy $. Quando $ y = 0 $, $ u = 1 - x $ e quando $ y = 1 - x $, $ u = 0 $. A integral fica:
y

Passo 10

Substituímos de volta na integral de $ x $:
x

Passo 11

Vamos resolver a última integral:
integral0^1 (1 - x)^3 , dx
Fazendo a substituição $ u = 1 - x $, $ du = -dx $, os limites ficam de $ u = 1 $ a $ u = 0 $:
u = 1 - x

Passo 12

Finalmente, multiplicamos pelos fatores constantes:
I = 16 times 14 = 124

Resposta

O valor da integral tripla $ I = \iiint z , dV $ sobre o tetraedro $ T $ é $ \frac{1}{24} $.

Exercícios relacionados