Utilizando integrais triplas, calcule
, no tetraedro sólido
, determinado pelos planos:
.
Faça um esboço deste tetraedro no espaço tridimensional.
Faça um esboço deste tetraedro no espaço tridimensional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla $ I = \iiint z , dV $ sobre um tetraedro sólido $ T $ definido pelos planos $ x + y + z = 1 $, $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ z = 0 $. Esse exercício envolve conceitos de cálculo integral em três dimensões, especialmente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e como montar a integral tripla corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o tetraedro $ T $. Ele é formado pelos planos $ x + y + z = 1 $, que é um plano inclinado, e pelos planos coordenados $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ z = 0 $, que são os planos dos eixos. Esse tetraedro tem quatro vértices: a origem $ (0,0,0) $ e os pontos onde cada plano intercepta os eixos, que são $ (1,0,0) $, $ (0,1,0) $ e $ (0,0,1) $.
Passo 3
Agora, para calcular a integral tripla, precisamos definir os limites de integração para $ x $, $ y $ e $ z $. Vamos começar por $ z $. No plano $ x + y + z = 1 $, podemos resolver para $ z $:
Isso nos dá o limite superior para $ z $. O limite inferior é $ z = 0 $.
Passo 4
Em seguida, vamos definir os limites para $ y $. Para um valor fixo de $ x $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ 1 - x $ (já que $ y + z = 1 - x $ e $ z \geq 0 $).
Passo 5
Finalmente, $ x $ varia de $ 0 $ a $ 1 $, já que o ponto mais distante no eixo $ x $ é $ (1,0,0) $.
Passo 6
Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla:
Passo 7
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a $ z $:
Passo 8
Substituímos o resultado na integral do meio:
Podemos fatorar o $ \frac{1}{2} $:
Passo 9
Agora, resolvemos a integral em relação a $ y $. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Deixe $ u = 1 - x - y $, então $ du = -dy $. Quando $ y = 0 $, $ u = 1 - x $ e quando $ y = 1 - x $, $ u = 0 $. A integral fica:
Deixe $ u = 1 - x - y $, então $ du = -dy $. Quando $ y = 0 $, $ u = 1 - x $ e quando $ y = 1 - x $, $ u = 0 $. A integral fica:
Passo 10
Substituímos de volta na integral de $ x $:
Passo 11
Vamos resolver a última integral:
Fazendo a substituição $ u = 1 - x $, $ du = -dx $, os limites ficam de $ u = 1 $ a $ u = 0 $:
Passo 12
Finalmente, multiplicamos pelos fatores constantes:
Resposta
O valor da integral tripla $ I = \iiint z , dV $ sobre o tetraedro $ T $ é $ \frac{1}{24} $.