Uma bola de bilhar com velocidade inicial colide com outra bola de bilhar de mesma massa que estava inicialmente em repouso. A primeira bola é espalhada por ângulo psi=45^circ em relação a sua direção incidente. Supondo que a colisão tenha sido perfeitamente elástica determine a velocidade (módulo, direção e sentido) das duas bolas após a colisão. Faça um desenho.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos duas bolas de bilhar com a mesma massa. A primeira bola está se movendo com uma certa velocidade inicial e colide com a segunda bola, que está parada. Depois da colisão, a primeira bola desvia num ângulo de 45° em relação à sua direção original. A colisão é perfeitamente elástica, ou seja, tanto a energia quanto o momento são conservados. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de conservação do momento e da energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a conservação do momento. Como as bolas têm a mesma massa, podemos simplificar as equações. Vamos considerar a direção inicial da primeira bola como o eixo x e perpendicular a ela como o eixo y.
O momento total antes da colisão só está na direção x, já que a segunda bola está parada. Após a colisão, a primeira bola se move com um ângulo de 45°.
As equações de conservação do momento ficam assim:
m cdot v0 = m cdot v1 cdot cos(45°) + m cdot v2 cdot cos(theta)
0 = m cdot v1 cdot sin(45°) - m cdot v2 cdot sin(theta)
Aqui, $ v_0 $ é a velocidade inicial da primeira bola, $ v_1 $ é a velocidade da primeira bola após a colisão, $ v_2 $ é a velocidade da segunda bola após a colisão, e $ \theta $ é o ângulo que a segunda bola faz com a direção original.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a conservação da energia cinética. Como a colisão é perfeitamente elástica, a energia cinética total é conservada.
A equação fica:
12 m v0^2 = 12 m v1^2 + 12 m v2^2
Podemos simplificar as massas ($ m $) de ambos os lados:
m

Passo 4

Vamos resolver as equações que montamos. Primeiro, da conservação do momento no eixo y:
v1 cdot sin(45°) = v2 cdot sin(theta)
Como sabemos que $ \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, podemos reescrever:
sin(45°) = raiz22
Além disso, pela conservação do momento no eixo x:
v1 cdot raiz22 = v2 cdot sin(theta)
Sabendo que $ \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} $:
v0 = v1 cdot cos(45°) + v2 cdot cos(theta)
Da conservação da energia, temos:
cos(45°) = raiz22
Agora, precisamos resolver este sistema de equações para encontrar $ v_1 $ e $ v_2 $.

Passo 5

Vamos observar que, em uma colisão perfeitamente elástica entre duas bolas de mesma massa, onde uma está inicialmente em repouso, a primeira bola para após a colisão e a segunda bola passa a ter a velocidade inicial da primeira. Entretanto, isso acontece quando a colisão é frontal.
No nosso caso, a primeira bola continua em movimento com um ângulo de 45°, o que indica que as duas bolas se movem em direções perpendiculares após a colisão. Portanto, o ângulo $ \theta $ será de 135°, já que a segunda bola se move na direção complementar.
Substituindo na equação da energia:
theta
E considerando pelo ângulo de 45°:
v0^2 = v1^2 + v2^2
v1 = v0 cdot cos(45°) = v0 cdot raiz22

Resposta

Após a colisão perfeitamente elástica, ambas as bolas têm a mesma velocidade, que é $ \frac{v_0 \cdot \sqrt{2}}{2} $. A primeira bola continua movendo-se na direção original com um ângulo de 45°, enquanto a segunda bola se move perpendicularmente, formando um ângulo de 135° em relação à direção incidente da primeira bola.

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