Uma partícula de massa m 1 e velocidade u 1 colide frontalmente com outra de massa m_2 que estava em repouso. Determine as velocidades v_1 e v_2 de cada partícula após a colisão supondo que a colisão provocou máxima perda de energia cinética compatível com a conservação do momento linear. De a sua resposta em função de u_1 e da razão a=m 2 / m 1.

Passo 1

Vamos resolver um problema de colisão frontal entre duas partículas. Temos uma partícula de massa com velocidade que colide com outra partícula de massa que está parada. Nosso objetivo é encontrar as velocidades e das partículas após a colisão, assumindo que houve a máxima perda possível de energia cinética, mas mantendo a conservação do momento linear. Para isso, precisaremos usar conceitos de conservação de momento e análise de energia cinética em colisões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento linear total antes da colisão deve ser igual ao momento linear total após a colisão. A fórmula para o momento linear ( p = m cdot v ) é:
Onde é a massa e é a velocidade.

Passo 3

Antes da colisão, apenas a primeira partícula está em movimento. Então, o momento total antes da colisão é:
pantes = m1 cdot u1
A segunda partícula está em repouso, então seu momento é zero.

Passo 4

Após a colisão, ambas as partículas estarão em movimento com velocidades pdepois = m1 cdot v1 + m2 cdot v2 e m1 cdot u1 = m1 cdot v1 + m2 cdot v2 . O momento total após a colisão é:
Como o momento deve ser conservado:

Passo 5

Agora, vamos considerar a energia cinética. A energia cinética total antes da colisão é:
KEantes = 12 m1 u1^2
E após a colisão:
KEdepois = 12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2
A perda máxima de energia cinética ocorre quando a colisão é o mais inelástica possível, mantendo a conservação do momento.

Passo 6

Para maximizar a perda de energia cinética, assumimos que as velocidades das duas partículas após a colisão são iguais, ou seja:
v1 = v2 = v
Substituindo na equação do momento:
m1 cdot u1 = (m1 + m2) cdot v
Resolvendo para v = m1 cdot u1m1 + m2 :

Passo 7

Agora, expressamos a solução em termos da razão v = m1 cdot u1m1 + m2 = u11 + a :
v1 = v2 = u11 + a
Portanto, as velocidades após a colisão são:

Resposta

As velocidades das partículas após a colisão são:
v1 = v2 = u11 + a

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