Uma partícula de massa
e velocidade
colide frontalmente com outra de massa m_2 que estava em repouso. Determine as velocidades v_1 e v_2 de cada partícula após a colisão supondo que a colisão provocou máxima perda de energia cinética compatível com a conservação do momento linear. De a sua resposta em função de u_1 e da razão
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de colisão frontal entre duas partículas. Temos uma partícula de massa
com velocidade
que colide com outra partícula de massa
que está parada. Nosso objetivo é encontrar as velocidades
e
das partículas após a colisão, assumindo que houve a máxima perda possível de energia cinética, mas mantendo a conservação do momento linear. Para isso, precisaremos usar conceitos de conservação de momento e análise de energia cinética em colisões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento linear total antes da colisão deve ser igual ao momento linear total após a colisão. A fórmula para o momento linear (
) é:
Onde
é a massa e
é a velocidade.
Passo 3
Antes da colisão, apenas a primeira partícula está em movimento. Então, o momento total antes da colisão é:
A segunda partícula está em repouso, então seu momento é zero.
Passo 4
Após a colisão, ambas as partículas estarão em movimento com velocidades
e
. O momento total após a colisão é:
Como o momento deve ser conservado:
Passo 5
Agora, vamos considerar a energia cinética. A energia cinética total antes da colisão é:
E após a colisão:
A perda máxima de energia cinética ocorre quando a colisão é o mais inelástica possível, mantendo a conservação do momento.
Passo 6
Para maximizar a perda de energia cinética, assumimos que as velocidades das duas partículas após a colisão são iguais, ou seja:
Substituindo na equação do momento:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, expressamos a solução em termos da razão
:
Portanto, as velocidades após a colisão são:
Resposta
As velocidades das partículas após a colisão são: