Uma haste delgada homogênea de comprimento
e massa
está em repouso inicialmente e dependurada verticalmente por uma de suas extremidades em um eixo horizontal em torno do qual ela pode girar livremente. Um projétil de massa m e velocidade
vindo na direção horizontal colide com a haste bem no meio dela onde fica encrustado. Supondo que o conjunto (haste + projétil) gire um ângulo máximo de
até parar momentaneamente, determine a velocidade
do projétil antes da colisão em função de g, L e da razão
. Lembre-se que para uma haste homogênea girando em torno do seu C.M. temos I^CM_H=M_H L^2/12.
Passo 1
Então, temos uma haste fina e homogênea de comprimento
e massa
, que está pendurada verticalmente e pode girar livremente em uma das suas extremidades. Um projétil de massa
se move horizontalmente com velocidade
e colide exatamente no meio da haste, ficando encrustado nela. Após a colisão, o conjunto haste + projétil gira até atingir um ângulo máximo de
antes de parar momentaneamente. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade
do projétil antes da colisão, em função de
(aceleração da gravidade),
(comprimento da haste) e da razão
.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar princípios de conservação de momento angular e conservação de energia. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o momento angular antes e depois da colisão. Antes da colisão, só o projétil está em movimento, então o momento angular total é devido a ele. Depois da colisão, tanto a haste quanto o projétil estão girando juntos.
O momento angular (
) de um objeto em rotação é dado por:
onde
é o momento de inércia e
é a velocidade angular.
Passo 3
Vamos calcular o momento angular antes da colisão. O projétil está a uma distância
do ponto de rotação (porque colide no meio da haste):
Passo 4
Agora, após a colisão, a haste e o projétil giram juntos. Precisamos calcular o momento de inércia total do sistema haste + projétil.
O momento de inércia da haste girando em torno de sua extremidade pode ser encontrado usando o Teorema de Steiner:
Sabemos que:
Então:
Passo 5
O momento de inércia do projétil, que está encrustado no meio da haste, é:
Passo 6
Portanto, o momento de inércia total do sistema após a colisão é:
Passo 7
Aplicando a conservação do momento angular:
Passo 8
Agora, vamos usar a conservação de energia para encontrar a velocidade inicial
. Após a colisão, o sistema converte sua energia cinética rotacional em energia potencial no ponto mais alto do movimento (quando o ângulo é
).
A energia cinética rotacional é:
A energia potencial no ponto mais alto é:
Igualando as energias:
Passo 9
Substituindo
da etapa anterior:
Simplificando:
Passo 10
Cancelando os
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 11
Finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A velocidade inicial
do projétil é dada por:
Ou, em termos da razão
: