Uma haste delgada homogênea de comprimento L e massa MH está em repouso inicialmente e dependurada verticalmente por uma de suas extremidades em um eixo horizontal em torno do qual ela pode girar livremente. Um projétil de massa m e velocidade v vindo na direção horizontal colide com a haste bem no meio dela onde fica encrustado. Supondo que o conjunto (haste + projétil) gire um ângulo máximo de 90^circ até parar momentaneamente, determine a velocidade v do projétil antes da colisão em função de g, L e da razão r=m H / m. Lembre-se que para uma haste homogênea girando em torno do seu C.M. temos I^CM_H=M_H L^2/12.

Passo 1

Então, temos uma haste fina e homogênea de comprimento e massa , que está pendurada verticalmente e pode girar livremente em uma das suas extremidades. Um projétil de massa se move horizontalmente com velocidade e colide exatamente no meio da haste, ficando encrustado nela. Após a colisão, o conjunto haste + projétil gira até atingir um ângulo máximo de antes de parar momentaneamente. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade do projétil antes da colisão, em função de (aceleração da gravidade), (comprimento da haste) e da razão .
Para resolver esse problema, vamos precisar usar princípios de conservação de momento angular e conservação de energia. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o momento angular antes e depois da colisão. Antes da colisão, só o projétil está em movimento, então o momento angular total é devido a ele. Depois da colisão, tanto a haste quanto o projétil estão girando juntos.
O momento angular ( L = I cdot omega ) de um objeto em rotação é dado por:
onde é o momento de inércia e é a velocidade angular.

Passo 3

Vamos calcular o momento angular antes da colisão. O projétil está a uma distância Lantes = m cdot v cdot L2 do ponto de rotação (porque colide no meio da haste):

Passo 4

Agora, após a colisão, a haste e o projétil giram juntos. Precisamos calcular o momento de inércia total do sistema haste + projétil.
O momento de inércia da haste girando em torno de sua extremidade pode ser encontrado usando o Teorema de Steiner:
Ihaste = I^CMH + MH cdot (L2)^2
Sabemos que:
I^CMH = MH L^212
Então:
Ihaste = MH L^212 + MH cdot L^24 = MH L^23

Passo 5

O momento de inércia do projétil, que está encrustado no meio da haste, é:
Iprojétil = m cdot (L2)^2 = m L^24 é

Passo 6

Portanto, o momento de inércia total do sistema após a colisão é:
Itotal = MH L^23 + m L^24 = (4MH + 3m12) L^2

Passo 7

Aplicando a conservação do momento angular:
Lantes = Ldepois
m cdot v cdot L2 = Itotal cdot omega
m cdot v cdot L2 = (4MH + 3m12) L^2 cdot omega
omega = 6 m v(4MH + 3m) L

Passo 8

Agora, vamos usar a conservação de energia para encontrar a velocidade inicial Ecinética = 12 Itotal omega^2 . Após a colisão, o sistema converte sua energia cinética rotacional em energia potencial no ponto mais alto do movimento (quando o ângulo é Epotencial = (MH + m) g cdot L2 ).
A energia cinética rotacional é:
12 Itotal omega^2 = (MH + m) g cdot L2 é
A energia potencial no ponto mais alto é:
Igualando as energias:

Passo 9

Substituindo 12 (4MH + 3m12) L^2 (6 m v(4MH + 3m) L)^2 = (MH + m) g cdot L2 da etapa anterior:
12 cdot 4MH + 3m12 L^2 cdot 36 m^2 v^2(4MH + 3m)^2 L^2 = (MH + m) g L2
Simplificando:
36 m^2 v^224 (4MH + 3m) = (MH + m) g L2
3 m^2 v^22 (4MH + 3m) = (MH + m) g L2

Passo 10

Cancelando os 3 m^2 v^24MH + 3m = (MH + m) g L dos dois lados:
v^2 = (4MH + 3m)(MH + m) g L3 m^2
Resolvendo para :

Passo 11

Finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar v = raiz (4MH + 3m)(MH + m) g L3 m^2 :

Resposta

A velocidade inicial v = raiz (4MH + 3m)(MH + m) g L3 m^2 do projétil é dada por:
v = raiz (4r + 3)(r + 1) g L3
Ou, em termos da razão :

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