Sabendo que as roldanas possuem
, massa de 100 kg e raio de 10 cm , as cordas possuem características despreziveis.
Calcule a velocidade da massa no sistema
após o o deslocamento de 2s.
(sugiro utilizar o conceito Impulso e quantidade de movimento angular)
Calcule a velocidade da massa no sistema
(sugiro utilizar o conceito Impulso e quantidade de movimento angular)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que está faltando (peguei os dados textuais do enunciado).
- Foi informado que as roldanas têm momento de inércia da forma
(ou seja, são discos sólidos). - Foi dada a massa de
kg e o raio de cm. Aqui há ambiguidade: não está explícito se essa massa de kg é a massa que está pendurada (vou chamar de ) ou se é a massa da(s) roldana(s) (vou chamar de ). O raio segue sendo m. - As cordas têm massa desprezível.
- Pede-se a velocidade da massa no sistema
após o deslocamento de s. - Não foi dito explicitamente se a massa parte do repouso nem o número de roldanas que participam efetivamente da rotação; vou assumir movimento iniciado a partir do repouso e que há uma única roldana que participa (se houver mais roldanas o efeito será somar os momentos de inércia equivalentes).
Como não posso pedir informação adicional, vou:
- apresentar a resolução em fórmula geral dependente de
(massa pendurada) e de (massa da roldana), - depois calcular casos numéricos plausíveis com as interpretações mais prováveis do enunciado (para você conferir rapidamente).
Passo 2
Conceito usado (a ideia sugerida pelo enunciado): impulso linear e impulso angular / quantidade de movimento angular.
- Impulso linear: a integral da força resultante sobre o tempo muda a quantidade de movimento linear. Para a massa
pendurada, a força resultante no sentido do movimento é (onde é a tensão). - Impulso angular (ou torque vezes tempo): a integral do torque em relação ao tempo muda o momento angular da roldana. O torque devido à tensão é
e sua integral sobre o tempo é a variação do momento angular da roldana . - Condição de não deslizamento: a velocidade linear da massa
está relacionada à velocidade angular da roldana por .
Vou transformar essas ideias em equações integradas sobre o intervalo de tempo
.
Passo 3
Escrevendo o impulso linear na massa (partindo do repouso até tempo
):
- A variação do momento linear da massa é
. - O impulso aplicado é
.
Igualando,
Passo 4
Escrevendo o impulso angular na roldana (partindo de
até tempo
):
- A variação do momento angular da roldana é
. - O impulso angular (torque integrado) é
.
Portanto
Passo 5
Usando a relação de não deslizamento
, podemos reescrever a equação angular em termos de
:
Agora somamos a equação do impulso linear (Passo 3) com a expressão obtida (observe os integrandos):
Os termos com
se cancelam, sobrando
Dessa equação isolamos
:
Esta é a forma geral (muito elegante) obtida usando impulso linear + impulso angular.
Passo 6
Agora substituímos a expressão do momento de inércia da roldana
na fórmula:
Logo
Esta é a expressão final em termos das massas
(pendurada) e
(da roldana), do tempo
e da gravidade
. Note que o raio
desaparece depois de substituir
— característica típica quando
é proporcional a
.
Passo 7
Agora vamos aos valores numéricos usando
m e
s. Tomo
.
Como o enunciado é ambíguo sobre qual massa vale , mostro duas interpretações úteis:
Como o enunciado é ambíguo sobre qual massa vale
Interpretação (a) — a massa pendurada é
e a roldana tem massa desprezível (
):
- Então
. - Substituindo:
Interpretação (b) — a massa pendurada é
e a roldana tem massa
(isto é, o número
kg era a massa da roldana):
- Use a fórmula
. - Substituindo
, , , :
(Se a situação real envolver mais de uma roldana girando, some as contribuições de momento de inércia efetivo no termo
e repita o procedimento.)
Passo 8
Resumo prático e incentivo: o método usando impulso linear + impulso angular limpa a conta e evita escrever equações diferenciais. A fórmula-chave que você deve lembrar para a prova é
e, para roldana sólida, isso vira
Se quiser que eu calcule para a interpretação exata que o seu professor quis (por exemplo: qual massa é 100 kg, há uma ou duas roldanas, partiu do repouso etc.), diga qual interpretação é a correta que eu já trago só o número final.
Resposta
Se
Se a massa pendurada for
Se a massa pendurada for