Sabendo que as roldanas possuem I=1 / 2 MR^{2}, massa de 100 kg e raio de 10 cm , as cordas possuem características despreziveis.
Calcule a velocidade da massa no sistema \mathbf{A} após o o deslocamento de 2s.
(sugiro utilizar o conceito Impulso e quantidade de movimento angular)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que está faltando (peguei os dados textuais do enunciado).
  • Foi informado que as roldanas têm momento de inércia da forma \,I=\tfrac{1}{2}M_{\rm r}R^{2}\, (ou seja, são discos sólidos).
  • Foi dada a massa de 100 kg e o raio de 10 cm. Aqui há ambiguidade: não está explícito se essa massa de 100 kg é a massa que está pendurada (vou chamar de m) ou se é a massa da(s) roldana(s) (vou chamar de M_{\rm r}). O raio R segue sendo 0{,}10 m.
  • As cordas têm massa desprezível.
  • Pede-se a velocidade da massa no sistema \mathbf{A} após o deslocamento de 2 s.
  • Não foi dito explicitamente se a massa parte do repouso nem o número de roldanas que participam efetivamente da rotação; vou assumir movimento iniciado a partir do repouso e que há uma única roldana que participa (se houver mais roldanas o efeito será somar os momentos de inércia equivalentes).
Como não posso pedir informação adicional, vou:
  • apresentar a resolução em fórmula geral dependente de m (massa pendurada) e de M_{\rm r} (massa da roldana),
  • depois calcular casos numéricos plausíveis com as interpretações mais prováveis do enunciado (para você conferir rapidamente).

Passo 2

Conceito usado (a ideia sugerida pelo enunciado): impulso linear e impulso angular / quantidade de movimento angular.
  • Impulso linear: a integral da força resultante sobre o tempo muda a quantidade de movimento linear. Para a massa m pendurada, a força resultante no sentido do movimento é \,m g - T (onde T é a tensão).
  • Impulso angular (ou torque vezes tempo): a integral do torque em relação ao tempo muda o momento angular da roldana. O torque devido à tensão é \tau = T R e sua integral sobre o tempo é a variação do momento angular da roldana I\omega.
  • Condição de não deslizamento: a velocidade linear da massa v está relacionada à velocidade angular da roldana \omega por \,v=\omega R.
Vou transformar essas ideias em equações integradas sobre o intervalo de tempo t.

Passo 3

Escrevendo o impulso linear na massa (partindo do repouso até tempo t):
  • A variação do momento linear da massa é \Delta p = m v.
  • O impulso aplicado é \displaystyle\int_{0}^{t}(m g - T)\,dt.
    Igualando,
m v=\int_{0}^{t}(m g - T)\,dt.

Passo 4

Escrevendo o impulso angular na roldana (partindo de \omega=0 até tempo t):
  • A variação do momento angular da roldana é \Delta L = I\omega.
  • O impulso angular (torque integrado) é \displaystyle\int_{0}^{t}T R\,dt.
    Portanto
I\omega=\int_{0}^{t}T R\,dt.

Passo 5

Usando a relação de não deslizamento \,v=\omega R, podemos reescrever a equação angular em termos de v:
I\frac{v}{R}=\int_{0}^{t}T R\,dt \quad\Rightarrow\quad \frac{I}{R^{2}}\,v=\int_{0}^{t}T\,dt.
Agora somamos a equação do impulso linear (Passo 3) com a expressão obtida (observe os integrandos):
m v + \frac{I}{R^{2}}\,v = \int_{0}^{t} m g\,dt - \int_{0}^{t}T\,dt + \int_{0}^{t}T\,dt.
Os termos com T se cancelam, sobrando
\left(m+\frac{I}{R^{2}}\right)v = m g t.
Dessa equação isolamos v:
v=\frac{m g t}{\,m+\dfrac{I}{R^{2}}\,}.
Esta é a forma geral (muito elegante) obtida usando impulso linear + impulso angular.

Passo 6

Agora substituímos a expressão do momento de inércia da roldana \,I=\dfrac{1}{2}M_{\rm r}R^{2}\, na fórmula:
\frac{I}{R^{2}}=\frac{1}{2}M_{\rm r}.
Logo
v=\frac{m g t}{\,m+\tfrac{1}{2}M_{\rm r}\,}.
Esta é a expressão final em termos das massas m (pendurada) e M_{\rm r} (da roldana), do tempo t e da gravidade g. Note que o raio R desaparece depois de substituir I — característica típica quando I é proporcional a R^{2}.

Passo 7

Agora vamos aos valores numéricos usando R=0{,}10 m e t=2 s. Tomo g=9{,}81\\ \text{m/s}^{2}.
Como o enunciado é ambíguo sobre qual massa vale 100\\ \text{kg}, mostro duas interpretações úteis:
Interpretação (a) — a massa pendurada é m=100\\ \text{kg} e a roldana tem massa desprezível ( M_{\rm r}\approx0):
  • Então v=g t.
  • Substituindo: v=9{,}81\cdot 2=19{,}62\\ \text{m/s}.
Interpretação (b) — a massa pendurada é m=100\\ \text{kg} e a roldana tem massa M_{\rm r}=100\\ \text{kg} (isto é, o número 100 kg era a massa da roldana):
  • Use a fórmula \displaystyle v=\frac{m g t}{m+\tfrac{1}{2}M_{\rm r}}.
  • Substituindo m=100, M_{\rm r}=100, t=2, g=9{,}81:
v=\frac{100\cdot 9{,}81\cdot 2}{100+\tfrac{1}{2}\cdot 100} =\frac{1962}{150}=13{,}08\\ \text{m/s}.
(Se a situação real envolver mais de uma roldana girando, some as contribuições de momento de inércia efetivo no termo I/R^{2} e repita o procedimento.)

Passo 8

Resumo prático e incentivo: o método usando impulso linear + impulso angular limpa a conta e evita escrever equações diferenciais. A fórmula-chave que você deve lembrar para a prova é
v=\frac{m g t}{\,m+\dfrac{I}{R^{2}}\,},
e, para roldana sólida, isso vira
v=\frac{m g t}{m+\tfrac{1}{2}M_{\rm r}}.
Se quiser que eu calcule para a interpretação exata que o seu professor quis (por exemplo: qual massa é 100 kg, há uma ou duas roldanas, partiu do repouso etc.), diga qual interpretação é a correta que eu já trago só o número final.

Resposta

\displaystyle v=\frac{m g t}{\,m+\dfrac{I}{R^{2}}\,} (fórmula geral).\newline
Se I=\tfrac{1}{2}M_{\rm r}R^{2} então \displaystyle v=\frac{m g t}{m+\tfrac{1}{2}M_{\rm r}}.\newline
Se a massa pendurada for m=100\\ \text{kg} e a roldana for desprezível: v=19{,}62\\ \text{m/s}.\newline
Se a massa pendurada for m=100\\ \text{kg} e a roldana tiver M_{\rm r}=100\\ \text{kg}: v=13{,}08\\ \text{m/s}.

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