Uma bola de borracha com massa 2 kg é abandonada de uma altura de 4 m , caindo sobre o solo. A energia perdida no choque é 16 J. Calcule a altura atingida pela bola depois do choque. Considere \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo pegado do enunciado):
  • Massa da bola: m=2\\ \mathrm{kg}.
  • Altura inicial da queda: h_0=4\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Energia perdida no choque com o solo: E_{\text{perdida}}=16\\ \mathrm{J}.
    O que se pede:
  • Calcular a altura máxima h_1 que a bola atinge depois do choque (ou seja, a altura de subida imediatamente após o impacto, assumindo que toda a energia mecânica remanescente vira energia potencial no ponto mais alto).

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicadinho):
  • Energia potencial gravitacional: é a energia que um objeto tem devido à sua posição numa altura. A fórmula é
E_p = m g h,
onde E_p é a energia potencial em joules, m é a massa em quilogramas, g é a aceleração da gravidade em \mathrm{m/s^{2}} e h é a altura em metros.
  • Durante a queda, se desprezarmos atrito do ar, a energia potencial inicial se transforma em energia cinética imediatamente antes do choque; portanto a energia cinética naquela instante é numericamente igual à energia potencial inicial.
  • No choque parte da energia é perdida (aqui dada como 16\\ \mathrm{J}). A energia que resta depois do choque transforma-se, enquanto a bola sobe, novamente em energia potencial no ponto mais alto da subida. Logo:
E_{p,\text{após}} = E_{p,\text{inicial}} - E_{\text{perdida}}.ó
A altura buscada h_1 satisfaz
m g h_1 = E_{p,\text{após}}.ó

Passo 3

Calcular a energia potencial inicial ao ser abandonada da altura h_0. Usando E_p=mgh:
E_{p,\text{inicial}} = m g h_0 = (2)\cdot(10)\cdot(4)\\ \mathrm{J}.
Agora fazemos a conta:
E_{p,\text{inicial}} = 2\cdot10\cdot4 = 80\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Energia disponível após o choque: subtrai-se a energia perdida E_{\text{perdida}}=16\\ \mathrm{J}:
E_{p,\text{após}} = E_{p,\text{inicial}} - E_{\text{perdida}} = 80 - 16\\ \mathrm{J}.ó
Calculando:
E_{p,\text{após}} = 64\\ \mathrm{J}.ó
Interpretação: esses 64\\ \mathrm{J} são a energia cinética imediatamente após o choque, que será convertida em energia potencial na subida até o ponto mais alto.

Passo 5

Agora relacionamos a energia após o choque com a altura máxima h_1 usando m g h_1 = E_{p,\text{após}}ó. Colocando valores:
(2)\cdot(10)\cdot h_1 = 64.
Ou seja,
20\\ h_1 = 64.

Passo 6

Resolver para h_1:
h_1 = \frac{64}{20}.
Fazendo a divisão passo a passo: \dfrac{64}{20}=\dfrac{64}{20}=\dfrac{32}{10}=3{,}2.
Portanto
h_1 = 3{,}2\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Checagem rápida (intuitiva): a energia inicial era 80\\ \mathrm{J} e perdeu-se 16\\ \mathrm{J}, ou seja 20\% da energia foi perdida. Então a altura alcançada deveria ser 80\% da altura inicial: 0{,}8\times4=3{,}2\\ \mathrm{m}. Bate com o cálculo anterior.

Resposta

3{,}2\\ \mathrm{m}

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