Em uma fazenda de grande escala, é essencial otimizar a aplicação de fertilizantes em terrenos com diferentes níveis de elevação, como colinas. Pensando nisso, sua equipe de engenharia desenvolveu um novo protótipo de espalhador que usa a energia de uma mola para lançar cápsulas de fertilizante. O dispositivo funciona da seguinte maneira: uma mola de constante elástica \mathbf{k}=\mathbf{4 0 0 ~ N} / \mathbf{m} é comprimida em 30 cm para armazenar energia. Ao ser solta, ela impulsiona uma cápsula de \mathbf{2 8 ~ g} por um plano horizontal que se conecta a uma rampa íngreme, com atrito desprezível.
Para garantir que o fertilizante chegue ao topo da colina e se espalhe de maneira uniforme, é preciso calcular a altura máxima que a cápsula pode alcançar na rampa.
Considerando que a energia do sistema é conservada, e que a aceleração da gravidade é 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, qual é a altura máxima que a cápsula de fertilizante atinge na rampa?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a altura máxima alcançada pela cápsula na rampa. As informações dadas são:
  • constante da mola: k=400\\ \mathrm{N}/\mathrm{m};
  • compressão da mola: x=30\\ \mathrm{cm}=0,30\\ \mathrm{m};
  • massa da cápsula: 28\\ \mathrm{g}=0,028\\ \mathrm{kg};
  • aceleração da gravidade: g=9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2};
  • o plano horizontal e a rampa são sem atrito (energia conservada).
    O que se pede: determinar a altura máxima H que a cápsula atinge na rampa.

Passo 2

Conceito e fórmula da energia armazenada na mola (energia elástica): ao comprimir uma mola linear de constante k uma distância x, a energia potencial elástica armazenada é dada por
E_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}kx^{2}.
Aqui E_{\text{mola}} está em joules, k em \mathrm{N}/\mathrm{m} e x em metros. Vou explicar por que essa fórmula vale: a força elástica numa mola é F=-kx; a energia é a integral da força em relação ao deslocamento desde 0 até x, o que dá \int_{0}^{x} kx'\,dx'=\tfrac{1}{2}kx^{2}.

Passo 3

Calcular numericamente a energia armazenada usando os valores dados:
E_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}\cdot 400\cdot (0,30)^{2}.
Fazendo as contas passo a passo:
(0,30)^{2}=0,09,
\tfrac{1}{2}\cdot 400 = 200,
E_{\text{mola}}=200\cdot 0,09=18\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Energia potencial gravitacional e conservação de energia: na subida pela rampa sem atrito, a energia inicial armazenada na mola vira energia cinética e depois energia potencial gravitacional no ponto mais alto. No ponto mais alto a velocidade é zero, então toda a energia útil transformou-se em energia potencial gravitacional
E_{\text{grav}}=m g H,
onde m é a massa da cápsula, g a gravidade e H a altura máxima. Pela conservação de energia (sem perdas),
E_{\text{mola}}=m g H.

Passo 5

Isolar H na equação da conservação:
H=\frac{E_{\text{mola}}}{m g}.
Aqui cada variável significa:
  • H: altura máxima (m);
  • E_{\text{mola}}: energia armazenada na mola (J);
  • m: massa (kg);
  • g: aceleração da gravidade ( \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}).

Passo 6

Calcular m g e depois H:
m g = 0,028\cdot 9,8 = 0,2744\\ \mathrm{N}\quad(\text{ou J/m}).
Usando E_{\text{mola}}=18\\ \mathrm{J},
H=\frac{18}{0,2744}\approx 65,6\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida (para acalmar a ansiedade): o resultado é relativamente grande porque a mola armazena 18\\ \mathrm{J} e a cápsula é leve; no mundo real atritos, perdas aerodinâmicas e resistência da rampa reduziriam essa altura, mas com as hipóteses do enunciado o cálculo é esse.

Resposta

65,6\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados