Em uma fazenda de grande escala, é essencial otimizar a aplicação de fertilizantes em terrenos com diferentes níveis de elevação, como colinas. Pensando nisso, sua equipe de engenharia desenvolveu um novo protótipo de espalhador que usa a energia de uma mola para lançar cápsulas de fertilizante. O dispositivo funciona da seguinte maneira: uma mola de constante elástica
é comprimida em 30 cm para armazenar energia. Ao ser solta, ela impulsiona uma cápsula de
por um plano horizontal que se conecta a uma rampa íngreme, com atrito desprezível.
Para garantir que o fertilizante chegue ao topo da colina e se espalhe de maneira uniforme, é preciso calcular a altura máxima que a cápsula pode alcançar na rampa.
Considerando que a energia do sistema é conservada, e que a aceleração da gravidade é
, qual é a altura máxima que a cápsula de fertilizante atinge na rampa?
Para garantir que o fertilizante chegue ao topo da colina e se espalhe de maneira uniforme, é preciso calcular a altura máxima que a cápsula pode alcançar na rampa.
Considerando que a energia do sistema é conservada, e que a aceleração da gravidade é
Passo 1
O enunciado pede para calcular a altura máxima alcançada pela cápsula na rampa. As informações dadas são:
- constante da mola:
; - compressão da mola:
; - massa da cápsula:
; - aceleração da gravidade:
; - o plano horizontal e a rampa são sem atrito (energia conservada).
O que se pede: determinar a altura máximaque a cápsula atinge na rampa.
Passo 2
Conceito e fórmula da energia armazenada na mola (energia elástica): ao comprimir uma mola linear de constante
uma distância
, a energia potencial elástica armazenada é dada por
Aqui
está em joules,
em
e
em metros. Vou explicar por que essa fórmula vale: a força elástica numa mola é
; a energia é a integral da força em relação ao deslocamento desde
até
, o que dá
.
Passo 3
Calcular numericamente a energia armazenada usando os valores dados:
Fazendo as contas passo a passo:
Passo 4
Energia potencial gravitacional e conservação de energia: na subida pela rampa sem atrito, a energia inicial armazenada na mola vira energia cinética e depois energia potencial gravitacional no ponto mais alto. No ponto mais alto a velocidade é zero, então toda a energia útil transformou-se em energia potencial gravitacional
onde
é a massa da cápsula,
a gravidade e
a altura máxima. Pela conservação de energia (sem perdas),
Passo 5
Isolar
na equação da conservação:
Aqui cada variável significa:
-
: altura máxima (m); -
: energia armazenada na mola (J); -
: massa (kg); -
: aceleração da gravidade ( ).
Passo 6
Calcular
e depois
:
Usando
,
Interpretação rápida (para acalmar a ansiedade): o resultado é relativamente grande porque a mola armazena
e a cápsula é leve; no mundo real atritos, perdas aerodinâmicas e resistência da rampa reduziriam essa altura, mas com as hipóteses do enunciado o cálculo é esse.