Em um silo de grãos, um engenheiro agrônomo precisa calcular a eficiência de um sistema de transporte que utiliza a gravidade para mover os grãos. O objetivo é quantificar a energia perdida por atrito durante o processo, para que o sistema possa ser otimizado. Imagine que uma carga de \mathbf{4 0 ~ k g} de grãos é solta do repouso no topo de uma rampa de escoamento, a uma altura de 2 metros. Essa carga chega à base da rampa com uma velocidade de \mathbf{6 ~ m} / \mathbf{s}. Adotando a aceleração da gravidade como \mathbf{1 0 m} / \mathbf{s}^{\mathbf{2}}, calcule a quantidade de energia dissipada devido ao atrito entre os grãos e a superfície da rampa.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pedido: calcular a quantidade de energia dissipada por atrito quando uma carga desce a rampa.
  • Dados fornecidos:
    • massa da carga: m=40\\ \mathrm{kg} (peguei do enunciado).
    • altura inicial: h=2\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
    • velocidade na base: v=6\\ \mathrm{m/s} (peguei do enunciado).
    • aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} (adotado no enunciado).
  • Informação implícita usada: a carga é solta do repouso no topo, portanto velocidade inicial v_0=0.

Passo 2

Entendendo a energia potencial gravitacional e calculando-a.
  • Conceito: a energia potencial gravitacional de um corpo à altura h em relação a uma referência é a energia armazenada devido à posição. A fórmula é
E_{\text{pot}} = m g h,
onde
  • E_{\text{pot}} é a energia potencial (em joules, \mathrm{J}),
  • m é a massa (em quilogramas, \mathrm{kg}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}),
  • h é a altura em relação à referência (em metros, \mathrm{m}).
  • Escolha prática: é comum escolher a base da rampa como referência de energia potencial zero. Assim a energia potencial inicial no topo é:
E_{\text{pot, inicial}} = m g h.
  • Substituindo os números:
E_{\text{pot, inicial}} = 40 \times 10 \times 2.
  • Calculando passo a passo:
    • 40 \times 10 = 400,
    • 400 \times 2 = 800.
      Portanto
E_{\text{pot, inicial}} = 800\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Entendendo a energia cinética e calculando a energia cinética final.
  • Conceito: a energia cinética de um corpo em movimento é dada por
E_{\text{cin}} = \tfrac{1}{2} m v^{2},
onde
  • E_{\text{cin}} é a energia cinética (em \mathrm{J}),
  • m é a massa (em \mathrm{kg}),
  • v é a velocidade (em \mathrm{m/s}).
  • No problema, queremos a energia cinética quando a carga chega à base com v=6\\ \mathrm{m/s}. Então:
E_{\text{cin, final}} = \tfrac{1}{2}\times 40 \times 6^{2}.
  • Calculando passo a passo:
    • 6^{2} = 36,
    • \tfrac{1}{2}\times 40 = 20,
    • 20 \times 36 = 720.
      Portanto
E_{\text{cin, final}} = 720\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Relacionando as energias e obtendo a energia dissipada por atrito.
  • Princípio físico: a variação da energia mecânica entre início e fim é igual ao trabalho das forças não-conservativas (aqui, atrito), que aparece como energia dissipada. Escrevendo a conservação de energia com dissipação:
E_{\text{pot, inicial}} + E_{\text{cin, inicial}} = E_{\text{pot, final}} + E_{\text{cin, final}} + E_{\text{diss}},
onde E_{\text{diss}} é a energia dissipada por forças não-conservativas (atrito), positiva quando energia é perdida do sistema mecânico.
  • No nosso caso:
    • E_{\text{cin, inicial}} = 0 (solta do repouso),
    • E_{\text{pot, final}} = 0 (escolhemos a base como referência).
      Então a equação reduz para
E_{\text{pot, inicial}} = E_{\text{cin, final}} + E_{\text{diss}}.
  • Isolando E_{\text{diss}}:
E_{\text{diss}} = E_{\text{pot, inicial}} - E_{\text{cin, final}}.
  • Substituindo os valores que calculamos:
E_{\text{diss}} = 800 - 720.
  • Calculando:
E_{\text{diss}} = 80\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Interpretação e dica prática para a prova.
  • Interpretação: E_{\text{diss}} = 80\\ \mathrm{J} significa que essa quantidade de energia mecânica foi transformada em calor, ruído ou outras formas não recuperáveis devido ao atrito durante a descida.
  • Dica rápida para prova: sempre identifique claramente o referencial da energia potencial (base ou topo) e verifique se a velocidade inicial é zero; calcule separadamente mgh e \tfrac{1}{2}mv^{2} antes de subtrair — evita erro de sinais.
  • (Bônus motivacional) Se quiser saber a eficiência do transporte em termos de energia mecânica convertida em velocidade:
\text{eficiência} = \frac{E_{\text{cin, final}}}{E_{\text{pot, inicial}}} = \frac{720}{800}=0{,}9 = 90\%.ê
Ou seja, 90\% da energia potencial virou energia cinética útil e 10\% foi perdida por atrito — um jeito rápido de avaliar se vale a pena otimizar a rampa.

Resposta

\,80\\ \mathrm{J}

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