Em um silo de grãos, um engenheiro agrônomo precisa calcular a eficiência de um sistema de transporte que utiliza a gravidade para mover os grãos. O objetivo é quantificar a energia perdida por atrito durante o processo, para que o sistema possa ser otimizado. Imagine que uma carga de
de grãos é solta do repouso no topo de uma rampa de escoamento, a uma altura de 2 metros. Essa carga chega à base da rampa com uma velocidade de
. Adotando a aceleração da gravidade como
, calcule a quantidade de energia dissipada devido ao atrito entre os grãos e a superfície da rampa.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pedido: calcular a quantidade de energia dissipada por atrito quando uma carga desce a rampa.
- Dados fornecidos:
- massa da carga:
(peguei do enunciado). - altura inicial:
(peguei do enunciado). - velocidade na base:
(peguei do enunciado). - aceleração da gravidade:
(adotado no enunciado).
- massa da carga:
- Informação implícita usada: a carga é solta do repouso no topo, portanto velocidade inicial
.
Passo 2
Entendendo a energia potencial gravitacional e calculando-a.
- Conceito: a energia potencial gravitacional de um corpo à altura
em relação a uma referência é a energia armazenada devido à posição. A fórmula é
onde
-
é a energia potencial (em joules, ), -
é a massa (em quilogramas, ), -
é a aceleração da gravidade (em ), -
é a altura em relação à referência (em metros, ). -
Escolha prática: é comum escolher a base da rampa como referência de energia potencial zero. Assim a energia potencial inicial no topo é:
- Substituindo os números:
- Calculando passo a passo:
-
, -
.
Portanto
-
Passo 3
Entendendo a energia cinética e calculando a energia cinética final.
- Conceito: a energia cinética de um corpo em movimento é dada por
onde
-
é a energia cinética (em ), -
é a massa (em ), -
é a velocidade (em ). -
No problema, queremos a energia cinética quando a carga chega à base com
. Então:
- Calculando passo a passo:
-
, -
, -
.
Portanto
-
Passo 4
Relacionando as energias e obtendo a energia dissipada por atrito.
- Princípio físico: a variação da energia mecânica entre início e fim é igual ao trabalho das forças não-conservativas (aqui, atrito), que aparece como energia dissipada. Escrevendo a conservação de energia com dissipação:
onde
é a energia dissipada por forças não-conservativas (atrito), positiva quando energia é perdida do sistema mecânico.
- No nosso caso:
-
(solta do repouso), -
(escolhemos a base como referência).
Então a equação reduz para
-
- Isolando
:
- Substituindo os valores que calculamos:
- Calculando:
Passo 5
Interpretação e dica prática para a prova.
- Interpretação:
significa que essa quantidade de energia mecânica foi transformada em calor, ruído ou outras formas não recuperáveis devido ao atrito durante a descida. - Dica rápida para prova: sempre identifique claramente o referencial da energia potencial (base ou topo) e verifique se a velocidade inicial é zero; calcule separadamente
e antes de subtrair — evita erro de sinais. - (Bônus motivacional) Se quiser saber a eficiência do transporte em termos de energia mecânica convertida em velocidade:
Ou seja,
da energia potencial virou energia cinética útil e
foi perdida por atrito — um jeito rápido de avaliar se vale a pena otimizar a rampa.