Uma bola de canhão é arremessada com uma velocidade inicial que faz um ângulo de 30 graus com o solo (horizontal). Sabendo-se que a bala possui um alcance de 2 km , qual foi a altura máxima que a bala atingiu?
Eixo y - MRUV
Equação horária:
H=V_{0 y} t_{h}-\frac{g t_{h}^{2}}{2} \Rightarrow H=\left(V_{0} \operatorname{sen} \alpha\right) t_{h}-\frac{g t_{h}^{2}}{2}
Equação da velocidade:
V_{y}=V_{0 y}-g t_{h} \Rightarrow 0=\left(V_{0} \operatorname{sen} \alpha\right)-g t_{h} \Rightarrow V_{0}=\frac{g t_{h}}{\operatorname{sen} \alpha}
  • Substituindo (3) em (1) e (2) para eliminar V_{0}
    x_{\text {max }}=\left(\frac{g t_{h}}{\operatorname{sen} \alpha} \cos \alpha\right)\left(2 t_{h}\right) \Rightarrow x_{\text {max }}=\frac{2 g t_{h}^{2}}{\operatorname{tg} \alpha} \Rightarrow t_{h}^{2}=\frac{\operatorname{tg} \alpha x_{\text {max }}}{2 g}
    H=\left(\frac{g t_{h}}{\operatorname{sen} \alpha} \operatorname{sen} \alpha\right) t_{h}-\frac{g t_{h}^{2}}{2} \Rightarrow H=\frac{g t_{h}^{2}}{2}
  • Finalmente, substituindo (1*) em (2*)
    H=\frac{g}{2} \frac{\operatorname{tg} \alpha x_{\max }}{2 g} \Rightarrow H=\frac{\operatorname{tg} \alpha}{4} x_{\max }
  • Substituindo valores: H=\frac{\operatorname{tg} 30^{\circ}}{4} 2000 \cong 288,7 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado diz que um projétil é lançado com ângulo \alpha=30^\circ e alcance horizontal R=2{,}0\;\mathrm{km}=2000\;\mathrm{m}. Queremos a altura máxima H_{\max}. Para isso vamos usar as fórmulas de MRUV em lançamento oblíquo, separando movimento horizontal (alcance) e vertical (altura).

Passo 2

Lembrando as fórmulas padrões:
R = \frac{V_0^2 \,\sin(2\alpha)}{g}
H_{\max} = \frac{V_0^2 \,\sin^2(\alpha)}{2g}
onde V_0 é a velocidade inicial e g a aceleração da gravidade.

Passo 3

Isolamos \tfrac{V_0^2}{g} a partir da expressão de R:
\frac{V_0^2}{g} = \frac{R}{\sin(2\alpha)}.

Passo 4

Substituímos em H_{\max}:
H_{\max} = \frac{\sin^2(\alpha)}{2}\,\frac{V_0^2}{g} = \frac{R\,\sin^2(\alpha)}{2\,\sin(2\alpha)} = \frac{R}{2}\,\frac{\sin^2(\alpha)}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{R\,\tan(\alpha)}{4}.

Passo 5

Finalmente, usando \alpha=30^\circ e R=2000\;\mathrm{m}:
H_{\max} = \frac{2000\,\tan(30^\circ)}{4} = \frac{2000}{4\sqrt{3}} \approx 288{,}7\;\mathrm{m}.

Resposta

A altura máxima atingida pela bola de canhão é aproximadamente 288{,}7\;\mathrm{m}.

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