1. Um trem está com a velocidade de 54 \mathrm{Km} / \mathrm{h} com relação aos trilhos, no instante que uma lanterna desprendese de um ponto situado na sua traseira a 3,2 \mathrm{~m} acima do solo. Calcular a distância percorrida pelo trem no intervalo de tempo que a lanterna leva para atingir o solo. Quais as trajetórias da lanterna com relação ao trem e ao trilho

Passo 1

O enunciado diz que um trem move-se a 54\mathrm{\,km/h} em relação aos trilhos e, no instante em que uma lanterna se solta da traseira, ela está a 3,2\mathrm{\,m} do solo. Precisamos calcular a distância que o trem percorre enquanto a lanterna cai até o chão e descrever as trajetórias da lanterna vista do trem e vista dos trilhos. O conteúdo principal é cinemática do movimento uniforme (para o trem) e movimento uniformemente variado na vertical (para a queda livre).

Passo 2

Vamos converter a velocidade do trem para o SI \mathrm{m/s}. Usamos
v = 54\mathrm{\,km/h} = 54 \times \frac{1000\mathrm{\,m}}{3600\mathrm{\,s}} = 15\mathrm{\,m/s}.

Passo 3

Para achar o tempo de queda da lanterna, consideramos a queda livre sob aceleração da gravidade g=9{,}8\mathrm{\,m/s^2} a partir da altura h=3{,}2\mathrm{\,m}. O tempo t satisfaz
t = \sqrt{\frac{2\,h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 3{,}2}{9{,}8}} \approx 0{,}81\mathrm{\,s}.

Passo 4

O trem percorre, em movimento uniforme, a distância
d = v \, t = 15\mathrm{\,m/s} \times 0{,}81\mathrm{\,s} \approx 12{,}1\mathrm{\,m}.

Passo 5

Trajetória da lanterna
  • Em relação aos trilhos (referencial inercial): a lanterna tem velocidade horizontal constante v=15\mathrm{\,m/s} e aceleração vertical -g. Logo sua equação do movimento é
x(t)=15\,t, \quad y(t)=3{,}2 - \tfrac12\,9{,}8\,t^2,
ou seja, uma parábola no plano xy.
  • Em relação ao trem (referencial em que o trem está em repouso): a componente horizontal inicial da lanterna coincide com a do trem, então no referencial do trem a lanterna cai praticamente “para baixo”, sem deslocamento horizontal. A trajetória vista dentro do trem é uma linha reta vertical de 3{,}2\mathrm{\,m} até o solo.

Resposta

A distância percorrida pelo trem é de aproximadamente 12{,}1\mathrm{\,m}.
A lanterna descreve, em relação aos trilhos, uma trajetória parabólica x=15\,t,\;y=3{,}2-\tfrac12(9{,}8)t^2, e, em relação ao trem, “cai verticalmente” sem deslocamento horizontal.

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