Uma bola estava flutuando no meio de uma piscina de águas tranquilas. Você, na beirada da piscina, desejava fazer com que ela se deslocasse para outra beirada. Então começou a produzir ondas com a mão na agua gerando uma onda que se propagou na superfície da piscina, para que a bola, ao ser atingida pela onda, fosse levada por ela. Você conseguiu o que desejava? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta se, ao gerar ondas com a mão na água para que uma bola flutuante seja levada pela onda até a outra beirada da piscina, você conseguiu o que desejava.
Informações relevantes do enunciado:
Há uma bola flutuando na superfície, inicialmente parada no meio da piscina.
Você gera uma onda na superfície com a mão (onda progressiva na superfície).
A intenção é que a bola seja carregada pela onda até a outra beirada.
Passo 2
Entender o que a onda faz com as partículas da água e, por consequência, com a bola. Vamos modelar a onda superficial simples (onda progressiva harmônica) por uma pequena amplitude a, número de onda k e frequência angular \omega. A elevação da superfície pode ser escrita como
\eta(x,t)=a\cos(kx-\omega t).
Em teoria linear de ondas (pequena amplitude), existe um potencial de velocidade que dá as componentes da velocidade do fluido. Para ondas em águas profundas uma escolha comum do potencial é
onde z é a coordenada vertical apontando para cima com z=0 na superfície e z<0 abaixo da superfície, e g é a aceleração da gravidade. Explico as variáveis:
a = amplitude da onda (altura máxima da superfície acima da posição média).
k = número de onda, ligado ao comprimento de onda por \lambda=2\pi/k.
\omega = frequência angular, ligada ao período por T=2\pi/\omega.
x = posição horizontal na direção de propagação.
z = profundidade (superfície z=0).
Das derivadas do potencial obtemos as velocidades horizontal u e vertical w:
onde usei a relação de dispersão para águas profundas \omega^2=gk para simplificar fatores. Essas expressões mostram que as partículas na superfície descrevem movimentos oscilatórios (no limite de pequena amplitude, aproximação de órbitas circulares/ elípticas que se fecham).
Passo 3
Mostrar que, em primeira ordem, a partícula (ou a bola que acompanha a superfície) não tem transporte médio para frente. Para um ponto médio horizontal x_0, a velocidade horizontal de primeira ordem é u(x_0,t)=a\omega e^{k z}\cos(kx_0-\omega t). Integrando no tempo (primeira ordem) obtemos o deslocamento oscilatório
X_1(t)=-a e^{k z}\sin(kx_0-\omega t),
ou seja, a partícula oscila para frente e para trás. A média temporal desta velocidade de primeira ordem é nula:
\overline{u(x_0,t)}=0.
Portanto, se considerássemos apenas a teoria linear de primeira ordem, a bola só bateria para frente e para trás e voltaria quase ao ponto de partida: não haveria transporte médio.
Passo 4
Explicar por que existe um pequeno transporte médio de segunda ordem (Stokes drift). A velocidade real que a partícula sente é u(x_0+X_1,t). Expandindo em série de Taylor,
A média temporal do primeiro termo é zero, mas a média temporal do segundo termo costuma ser diferente de zero e gera um deslocamento médio. Vamos calcular esse termo. Temos
\frac{\partial u}{\partial x}=-a\omega k e^{k z}\sin(kx_0-\omega t).
Multiplicando por X_1 e fazendo a média temporal (indicada por barra), obtemos
u_S(z)=\overline{X_1\,\frac{\partial u}{\partial x}}=\overline{\bigl(-a e^{k z}\sin\theta\bigr)\bigl(-a\omega k e^{k z}\sin\theta\bigr)}=\frac{1}{2}a^2\omega k e^{2k z},
onde \theta=kx_0-\omega t e usei \overline{\sin^2\theta}=1/2. Essa velocidade média u_S(z) é chamada de velocidade de Stokes (Stokes drift). No topo da água (z=0) obtém-se
u_S(0)=\frac{1}{2}a^2\omega k.
Observações didáticas:
O desvio médio é de segunda ordem em a (proporcional a a^2), por isso é pequeno quando a é pequeno.
A direção do deslocamento médio é a mesma da propagação da onda.
O e^{2k z} mostra que o efeito decai com a profundidade (na superfície é máximo).
Passo 5
Estimativa numérica para ver se esse deslocamento é grande o suficiente para levar a bola até a outra beirada. Pegue um exemplo razoável de onda feita com a mão:
a=0{,}02\\ \mathrm{m} (2 cm de amplitude),
\lambda=1{,}0\\ \mathrm{m}\Rightarrow k=2\pi/\lambda\approx 6{,}28\\ \mathrm{m^{-1}}.
A partir da relação de dispersão para águas profundas \omega=\sqrt{gk}, com g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, temos \omega\approx 7{,}85\\ \mathrm{s^{-1}}. Então
ou seja, cerca de 1\\ \mathrm{cm/s}. Com essa velocidade média, levaria algo como 5\\ \mathrm{m}/0{,}01\\ \mathrm{m/s}=500\\ \mathrm{s} (≈8 minutos) para atravessar 5\\ \mathrm{m}, sem contar perda de energia, atrito, reflexões, turbulência, etc. Na prática:
Ondas de mão perdem energia rápido, se atenuam e se dispersam.
Haverá reflexões nas laterais, interferência, e efeitos viscosos que normalmente reduzem o transporte médio.
A bola também pode sofrer resistência do ar e arrasto viscoso com a água, e pode interagir com gradientes de corrente criados localmente.
Passo 6
Conclusão física e prática baseada nos cálculos:
Fisicamente, ondas transportam energia e momento e produzem um pequeno transporte médio da superfície (Stokes drift), então existe sim um deslocamento médio da bola na direção da propagação da onda.
Na prática, para ondas pequenas produzidas com a mão em uma piscina, esse deslocamento médio é muito pequeno e lento; a bola vai basicamente “sacudir” e só se deslocar lentamente (ou nem se deslocar muito) para a outra beirada antes que as ondas se apaguem ou se espalhem. É improvável que você leve a bola rapidamente até a outra beirada apenas agitando a água com a mão. Para mover a bola de forma efetiva você precisaria de ondas muito maiores, correntes persistentes ou empurrá-la diretamente.
Passo 7
Dica de como responder isso na prova (forma curta e objetiva): explique que partículas em ondas lineares fazem órbitas e retornam, que há um pequeno transporte médio de segunda ordem (Stokes drift) proporcional a a^2, escreva a expressão no topo da água
u_S(0)=\frac{1}{2}a^2\omega k,
faça uma estimativa numérica e conclua se o deslocamento é significativo para o caso pedido.
Resposta
Não é provável que você consiga levá-la até a outra beirada apenas com ondas feitas à mão: a bola só oscila e recebe um pequeno deslocamento médio (Stokes drift) da ordem de \tfrac{1}{2}a^2\omega k — muito pequeno para atravessar a piscina rapidamente.