Questão 2: Um fio condutor maciço muito longo e de raio
está carregado com uma densidade de carga superficial
. Calcule o potencial eletrostático nas regiões:
. Considere o potencial elétrico zero em
.
Passo 1
O enunciado nos dá um fio condutor maciço, muito longo, de raio
, com densidade de carga superficial
. Pede-se calcular o potencial eletrostático na região
(no interior do fio), sabendo-se que o potencial é nulo em
. Informações importantes fornecidas:
A pergunta específica é: qual o valor de
para
?
Passo 2
Conceito e ferramenta que usamos: a Lei de Gauss em sua forma integral:
onde
é o campo elétrico,
é o elemento de área orientado,
é a carga eletricamente contida dentro da superfície fechada
e
é a permissividade do vácuo. Vou explicar cada símbolo:
mede força por unidade de carga,
aponta para fora da superfície, e a integral calcula o fluxo total de
pela superfície. Essa lei é muito útil com simetrias (aqui temos simetria cilíndrica).
Passo 3
Aplicamos a Lei de Gauss escolhendo uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o fio, de raio
tal que
, e comprimento arbitrário
. Avaliamos
— a carga dentro dessa superfície. Como o corpo é um condutor em equilíbrio eletrostático, todas as cargas livres se localizam na superfície externa do condutor (isso é um resultado físico: cargas em condutor se repelem e migram para a superfície). Portanto, a carga encerrada pela superfície de raio
é
Passo 4
Pela simetria cilíndrica, o campo elétrico, se existir, seria radial e de módulo constante sobre a superfície lateral da nossa gaussiana; sobre as tampas (faces planas) o fluxo é zero porque
é radial. Assim a integral de fluxo reduz-se a:
Dessa igualdade segue que
Aqui
é o módulo do campo elétrico a uma distância radial
do eixo.
Passo 5
Relação entre campo elétrico e potencial: em coordenadas radiais, o componente radial do campo é dado por
onde
é o potencial elétrico a uma distância
. Essa fórmula vem da definição
. Como mostramos que
para
, obtemos
Integrando com respeito a
, isso implica que
é constante dentro do condutor (independente de
).
Passo 6
Usamos a condição de contorno dada:
. Como
é constante para
e igual ao valor na superfície, conclui-se que