Questão 2: Um fio condutor maciço muito longo e de raio R está carregado com uma densidade de carga superficial \sigma. Calcule o potencial eletrostático nas regiões: (a) r<R. Considere o potencial elétrico zero em r=R.

Passo 1

O enunciado nos dá um fio condutor maciço, muito longo, de raio \\ R, com densidade de carga superficial \\ \sigma. Pede-se calcular o potencial eletrostático na região \\ r<R (no interior do fio), sabendo-se que o potencial é nulo em \\ r=R. Informações importantes fornecidas:
\text{raio: }\; R,\qquad \text{densidade superficial de carga: }\; \sigma,\qquad \text{condutor maciço muito longo,}\qquad V(R)=0.ç
A pergunta específica é: qual o valor de V(r) para \\ r<R?

Passo 2

Conceito e ferramenta que usamos: a Lei de Gauss em sua forma integral:
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico, d\mathbf{A} é o elemento de área orientado, Q_{\text{int}} é a carga eletricamente contida dentro da superfície fechada \mathcal{S} e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Vou explicar cada símbolo: \mathbf{E} mede força por unidade de carga, d\mathbf{A} aponta para fora da superfície, e a integral calcula o fluxo total de \mathbf{E} pela superfície. Essa lei é muito útil com simetrias (aqui temos simetria cilíndrica).

Passo 3

Aplicamos a Lei de Gauss escolhendo uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o fio, de raio \\ r tal que \\ r<R, e comprimento arbitrário \\ L. Avaliamos Q_{\text{int}} — a carga dentro dessa superfície. Como o corpo é um condutor em equilíbrio eletrostático, todas as cargas livres se localizam na superfície externa do condutor (isso é um resultado físico: cargas em condutor se repelem e migram para a superfície). Portanto, a carga encerrada pela superfície de raio \\ r<R é
Q_{\text{int}}=0.

Passo 4

Pela simetria cilíndrica, o campo elétrico, se existir, seria radial e de módulo constante sobre a superfície lateral da nossa gaussiana; sobre as tampas (faces planas) o fluxo é zero porque \mathbf{E} é radial. Assim a integral de fluxo reduz-se a:
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\frac{0}{\varepsilon_0}=0.
Dessa igualdade segue que
E(r)=0\qquad\text{para}\\ \\ r<R.
Aqui E(r) é o módulo do campo elétrico a uma distância radial r do eixo.

Passo 5

Relação entre campo elétrico e potencial: em coordenadas radiais, o componente radial do campo é dado por
E_r(r)=-\frac{dV}{dr},
onde V(r) é o potencial elétrico a uma distância r. Essa fórmula vem da definição \mathbf{E}=-\nabla V. Como mostramos que E_r(r)=0 para \\ r<R, obtemos
-\frac{dV}{dr}=0\quad\Rightarrow\quad \frac{dV}{dr}=0\quad\text{para}\\ \\ r<R.
Integrando com respeito a r, isso implica que V(r) é constante dentro do condutor (independente de r).

Passo 6

Usamos a condição de contorno dada: V(R)=0. Como V(r) é constante para \\ r<R e igual ao valor na superfície, conclui-se que
V(r)=V(R)=0\qquad\text{para}\\ \\ r<R.

Resposta

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