Questão 2: Um fio condutor maciço muito longo e de raio
está carregado com uma densidade de carga superficial
. Calcule o potencial eletrostático nas regiões:
. Considere o potencial elétrico zero em
.
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos: Encontrar o potencial eletrostático na região externa ao cilindro, isto é para
. Dados: fio condutor muito longo e de raio
, carregado com densidade de carga superficial
. Condição de referência: o potencial elétrico é zero em
, isto é
.
Informações relevantes do enunciado que vamos usar: o fio é muito longo (simetria cilíndrica), é um condutor maciço (isso implica que toda carga está na superfície externa e o campo elétrico dentro do condutor é zero), e a densidade superficial é a carga por unidade de área na superfície curva do cilindro.
Informações relevantes do enunciado que vamos usar: o fio é muito longo (simetria cilíndrica), é um condutor maciço (isso implica que toda carga está na superfície externa e o campo elétrico dentro do condutor é zero), e a densidade superficial
Passo 2
Escolher uma superfície gaussiana adequada e escrever a Lei de Gauss. Por simetria cilíndrica, o campo elétrico fora do cilindro depende só de
e é radial. Escolhemos uma superfície gaussiana na forma de cilindro coaxial de raio
(com
) e comprimento
. A Lei de Gauss diz:
Aqui
é a permissividade do vácuo. Na nossa superfície gaussiana só a superfície lateral contribui (as tampas têm
paralelo a elas), e o fluxo é
multiplicado pela área lateral.
Passo 3
Calcular a carga contida pela superfície gaussiana por unidade de comprimento. A densidade superficial
tem unidades de carga por área (C·m^{-2}). Para um trecho de comprimento
da superfície do cilindro de raio
, a área da superfície curva é
, então a carga contida é
Definimos também a densidade linear de carga
(carga por unidade de comprimento) como
Passo 4
Aplicar a Lei de Gauss ao cilindro gaussiano. O fluxo pela superfície lateral é
. Igualando:
Cancelando
dos dois lados resulta:
Explicação física: o campo é radial (direção normal à superfície) e decai como
, característica de distribuições lineares de carga.
Passo 5
Relacionar campo elétrico com potencial elétrico e integrar. A diferença de potencial entre dois raios
e
é dada por
Aqui, para ir de
até um
movemo-nos radialmente, então
com sinal positivo no sentido radial. Como queremos
sabendo
, temos:
Passo 6
Substituir
na integral e calcular explicitamente. Usando
obtemos:
A integral do logaritmo natural dá
Usando propriedades dos logaritmos, isso é
Passo 7
Interpretações rápidas e checagem de consistência: a unidade de
é volt (V), como deve ser para um potencial. Para
o potencial é negativo para
porque
; isso é esperado porque fixamos
e, como o condutor é infinito, o potencial tende ao
quando
(essa divergência é típica de distribuições infinitas, por isso não podemos tomar o infinito como referência). Pronto — obtivemos a expressão pedida.