Uma bola de ferro é suspensa por uma corda de massa desprezível presa a uma boia cilíndrica que flutua. A boia está parcialmente submersa e suas bases estão paralelas à superfície da água. A boia possui uma densidade de 0,4 g/cm³ e apenas metade de seu volume está submerso. Se a massa da esfera for m = 420 kg e a massa de água deslocada por ela for md = 53,85 kg, o volume da boia para que o sistema esteja em equilíbrio é (use dágua = 1 g/cm³):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício envolve hidrostática, mais especificamente o princípio de Arquimedes. A gente precisa entender como objetos flutuam e equilibram as forças envolvidas. Aqui, temos uma boia que está flutuando parcialmente na água e uma bola de ferro pendurada. Precisamos descobrir o volume da boia para que todo o sistema esteja em equilíbrio. Vamos usar as informações dadas sobre densidades e massas para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o princípio de Arquimedes, que diz que um objeto imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado. Essa força de empuxo é o que faz os objetos flutuarem ou afundarem.

Passo 3

Vamos identificar as forças envolvidas no sistema:
  1. Peso da bola de ferro (P_bola): Essa é a força puxando a bola para baixo.
  2. Peso da boia (P_boia): Mesmo que a massa da corda seja desprezível, a boia também tem seu próprio peso puxando-a para baixo.
  3. Empuxo da água (E): Essa é a força para cima devido ao deslocamento de água pela boia e pela bola.

Passo 4

Para que o sistema esteja em equilíbrio, a soma das forças para baixo deve ser igual à força de empuxo para cima. Ou seja:
Pbola + Pboia = E

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas forças:
  • Peso da bola de ferro (P_bola):
    Pbola = m times g
    Onde $ m = 420 , kg $ e $ g = 9,81 , m/s² $.
  • Peso da boia (P_boia):
    Primeiro, precisamos encontrar a massa da boia. Sabemos a densidade ($ \rho_{boia} m = 420 , kg V $):
    g = 9,81 , m/s²
    Então:
    rhoboia
  • Empuxo da água (E):
    O empuxo é igual ao peso da água deslocada. A boia está com metade do volume submerso, então:
    V á²

Passo 6

Agora, substituímos tudo na equação de equilíbrio:
Pbola + Pboia = E
m times g + rhoboia times V times g = mágua deslocada times g á
Podemos simplificar dividindo todos os termos por $ g $:
g á

Passo 7

Agora, vamos isolar $ V $:
V á
rhoboia times V = mágua deslocada - m á

Passo 8

Substituindo os valores fornecidos:
m = 420 , kg
mágua deslocada = 53,85 , kg á
rhoboia = 0,4 , g/cm³ ³
Antes de calcular, precisamos garantir que as unidades estejam compatíveis. Vamos converter a densidade da boia para kg/m³:
0,4 , g/cm³ = 400 , kg/m³ ³³

Passo 9

Agora, substituímos na equação:
V = 53,85 , kg - 420 , kg400 , kg/m³ ³
V = -366,15 , kg400 , kg/m³ ³

Passo 10

Calculando o valor de $ V $:
V ³
A massa da água deslocada pela boia não pode ser negativa, então precisamos revisar nossos passos. Provavelmente houve um erro de interpretação na relação entre as massas. Na verdade, a boia deve deslocar água suficiente para equilibrar o peso da bola e seu próprio peso. Vamos refazer a equação considerando que metade do volume da boia está submerso.

Passo 11

Como metade do volume da boia está submerso, o empuxo será dado por:
E = rhoágua times V2 times g á
E no equilíbrio:
m times g + rhoboia times V times g = rhoágua times V2 times g á
Simplificando por $ g $:
g á

Passo 12

Isolando $ V $:
V á
m = rhoágua times V2 - rhoboia times V á
m = V ( rhoágua2 - rhoboia ) á

Passo 13

Substituindo os valores:
rhoágua = 1000 , kg/m³ á³
rhoboia = 400 , kg/m³ ³
m = 420 , kg
V = 42010002 - 400 = 420500 - 400 = 420100 = 4,2 , m³ ³

Resposta

O volume da boia necessário para que o sistema esteja em equilíbrio é 4,2 metros cúbicos.

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