Uma bola de ferro é suspensa por uma corda de massa desprezível presa a uma boia cilíndrica que flutua. A boia está parcialmente submersa e suas bases estão paralelas à superfície da água. A boia possui uma densidade de 0,4 g/cm³ e apenas metade de seu volume está submerso. Se a massa da esfera for m = 420 kg e a massa de água deslocada por ela for md = 53,85 kg, o volume da boia para que o sistema esteja em equilíbrio é (use dágua = 1 g/cm³):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício envolve hidrostática, mais especificamente o princípio de Arquimedes. A gente precisa entender como objetos flutuam e equilibram as forças envolvidas. Aqui, temos uma boia que está flutuando parcialmente na água e uma bola de ferro pendurada. Precisamos descobrir o volume da boia para que todo o sistema esteja em equilíbrio. Vamos usar as informações dadas sobre densidades e massas para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o princípio de Arquimedes, que diz que um objeto imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado. Essa força de empuxo é o que faz os objetos flutuarem ou afundarem.
Passo 3
Vamos identificar as forças envolvidas no sistema:
- Peso da bola de ferro (P_bola): Essa é a força puxando a bola para baixo.
- Peso da boia (P_boia): Mesmo que a massa da corda seja desprezível, a boia também tem seu próprio peso puxando-a para baixo.
- Empuxo da água (E): Essa é a força para cima devido ao deslocamento de água pela boia e pela bola.
Passo 4
Para que o sistema esteja em equilíbrio, a soma das forças para baixo deve ser igual à força de empuxo para cima. Ou seja:
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas forças:
-
Peso da bola de ferro (P_bola):Onde $ m = 420 , kg $ e $ g = 9,81 , m/s² $.
-
Peso da boia (P_boia):Primeiro, precisamos encontrar a massa da boia. Sabemos a densidade ($ \rho_{boia}
V $): Então: -
Empuxo da água (E):O empuxo é igual ao peso da água deslocada. A boia está com metade do volume submerso, então:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na equação de equilíbrio:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por $ g $:
Passo 7
Agora, vamos isolar $ V $:
Passo 8
Substituindo os valores fornecidos:
Antes de calcular, precisamos garantir que as unidades estejam compatíveis. Vamos converter a densidade da boia para kg/m³:
Passo 9
Agora, substituímos na equação:
Passo 10
Calculando o valor de $ V $:
A massa da água deslocada pela boia não pode ser negativa, então precisamos revisar nossos passos. Provavelmente houve um erro de interpretação na relação entre as massas. Na verdade, a boia deve deslocar água suficiente para equilibrar o peso da bola e seu próprio peso. Vamos refazer a equação considerando que metade do volume da boia está submerso.
Passo 11
Como metade do volume da boia está submerso, o empuxo será dado por:
E no equilíbrio:
Simplificando por $ g $:
Passo 12
Isolando $ V $:
Passo 13
Substituindo os valores:
Resposta
O volume da boia necessário para que o sistema esteja em equilíbrio é 4,2 metros cúbicos.