1. Uma bola foi arremessada pra cima e possui a altura em função do tempo dada por y(t)=1+2 t-5 t^{2}, onde o tempo é dado em segundos e a altura em metros.
    a) Calclule a velocidade como função do tempo, v=v(t) em metros por segundo.
    b) Calcule a aceleração como função do tempo a=a(t), em metros por segundo ao quadrado.
    c) Calcule o instante de tempo em que a velocidade é 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Ache também o instante de tempo em que a velocidade é nula. Calcule também a posição nesses instantes de tempo.

Passo 1

O enunciado nos dá a altura de uma bola arremessada para cima como
y(t)=1+2\,t-5\,t^{2},
onde t está em segundos e y em metros. O conteúdo aqui é cinemática de uma partícula sob aceleração constante. Para resolver precisamos usar derivadas: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo e a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Depois, resolveremos equações lineares para achar os instantes pedidos e avaliar a posição nesses instantes.

Passo 2

Para achar a velocidade, calculamos a derivada de y(t) em relação a t:
v(t)=\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(1+2\,t-5\,t^{2}\bigr)=2-10\,t.

Passo 3

Para achar a aceleração, derivamos v(t) em relação a t:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(2-10\,t\bigr)=-10.

Passo 4

Agora resolvemos as equações para os instantes pedidos:
  1. Velocidade igual a 1,m/s:
2-10\,t=1 \quad\Longrightarrow\quad 10\,t=1 \quad\Longrightarrow\quad t=0,1\text{ s}.
A posição nesse instante é
y(0,1)=1+2\cdot0,1-5\cdot(0,1)^{2}=1+0,2-0,05=1,15\text{ m}.
  1. Velocidade nula:
2-10\,t=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0,2\text{ s}.
A posição nesse instante é
y(0,2)=1+2\cdot0,2-5\cdot(0,2)^{2}=1+0,4-0,20=1,20\text{ m}.

Resposta

a) v(t)=2-10\,t (m/s)
b) a(t)=-10 (m/s ^2)
c) Para v(t)=1 m/s: t=0,1 s e y(0,1)=1,15 m. Para v(t)=0: t=0,2 s e y(0,2)=1,20 m.

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