Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sua altura (em metros) depois de t segundos é dada pela função y(t)=10 t-4,9 t^{2}. Encontre a velocidade quando t=2.
Os exercícios a seguir devem ser resolvidos utilizandose a definição de derivada em um ponto pelos seguintes limites
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}

Passo 1

O enunciado dá a altura de uma bola atirada verticalmente como
y(t)=10\,t -4,9\,t^{2},
e pede a velocidade instantânea em t=2. Em física a velocidade é a derivada da altura em relação ao tempo, ou seja, vamos usar
y'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{y(t+h)-y(t)}{h}.

Passo 2

Calcular a diferença y(t+h)-y(t):
y(t+h)-y(t) = \bigl[10(t+h)-4,9\,(t+h)^{2}\bigr] - \bigl[10t-4,9\,t^{2}\bigr].

Passo 3

Expandindo e simplificando:
10t +10h -4,9\,(t^{2}+2th+h^{2}) -10t +4,9\,t^{2} =10h -9,8\,t\,h -4,9\,h^{2}.

Passo 4

Dividindo por h e tomando o limite h\to0:
\frac{y(t+h)-y(t)}{h} =\frac{h\bigl(10 -9,8\,t -4,9\,h\bigr)}{h} =10 -9,8\,t -4,9\,h \longrightarrow 10 -9,8\,t.
Portanto
y'(t)=10 -9,8\,t.

Passo 5

Substituindo t=2:
y'(2)=10 -9,8\times2=10-19,6=-9,6.

Resposta

-9,6\\ \mathrm{m/s}

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