Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
y=\sqrt{x} , (1,1)
Os exercícios a seguir devem ser resolvidos utilizandose a definição de derivada em um ponto pelos seguintes limites
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva y=\sqrt{x} no ponto (1,1). O conteúdo envolvido é o cálculo de derivada em um ponto pela definição
f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
Vamos usar essa fórmula para obter o coeficiente angular da tangente em x_0=1.

Passo 2

Para f(x)=\sqrt{x} e x_0=1 temos
f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}.
Racionalizando o numerador multiplicando por \sqrt{1+h}+1:
f'(1) =\lim_{h\to0}\frac{(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)}{h(\sqrt{1+h}+1)} =\lim_{h\to0}\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)} =\lim_{h\to0}\frac{h}{h(\sqrt{1+h}+1)} =\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1} =\frac{1}{2}.

Passo 3

O coeficiente angular da reta tangente é m=f'(1)=\frac{1}{2} e ela passa por (1,1). Na forma ponto-inclinação:
y-1=\frac{1}{2}(x-1).
Em forma explícita:
y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.

Resposta

A equação da reta tangente é
y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.

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