Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
y=\frac{2 x}{(x+1)^{2}},(0,0)
Os exercícios a seguir devem ser resolvidos utilizandose a definição de derivada em um ponto pelos seguintes limites
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
y = \frac{2x}{(x+1)^{2}}
no ponto (0,0).
Vamos usar a definição de derivada em x_{0}=0:
f'(0) = \lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.

Passo 2

Identificamos f(x)=\dfrac{2x}{(x+1)^{2}} e f(0)=0.
Aplicando a definição,
f'(0) = \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{\dfrac{2h}{(h+1)^{2}}-0}{h} = \lim_{h\to0}\frac{2h}{h\,(h+1)^{2}}.

Passo 3

Simplificando dentro do limite:
\frac{2h}{h\,(h+1)^{2}} = \frac{2}{(h+1)^{2}}.
Logo,
f'(0) = \lim_{h\to0}\frac{2}{(h+1)^{2}} = \frac{2}{1^{2}} = 2.
Portanto, a inclinação da reta tangente é m=2.

Passo 4

A equação da reta com coeficiente angular m passando por (x_{0},y_{0})=(0,0) é
y - 0 = 2\,(x - 0),
ou seja,

Resposta

y = 2x.

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