Uma bola de golfe de 50 g é atingida por um taco, lançando a bola a um ângulo de 45^{\circ}.
(a) Supondo que a bola atinja um alcance de 200 m , calcule o módulo do impulso causado pela colisão.
(b) Supondo que o tempo de contato do taco com a bola seja de 4,5 \times 10^{-4} \mathrm{~s}, estime o módulo da força exercida pelo taco sobre a bola.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Calcular o módulo do impulso produzido pela colisão do taco com a bola.
(b) Estimar o módulo da força média exercida pelo taco, sabendo o tempo de contato.
Informações dadas (tudo listado exatamente):
\;m=50\\ \mathrm{g} (massa da bola),
\;\theta=45^\circ (ângulo de lançamento),
\;R=200\\ \mathrm{m} (alcance horizontal),
\;\Delta t=4,5\times10^{-4}\\ \mathrm{s} (tempo de contato taco–bola).
Observações que vou usar implicitamente mais adiante (não inicio resolução aqui): a massa precisa ser convertida para o SI e assumimos o movimento do projétil em terreno plano sem resistência do ar para relacionar alcance e velocidade inicial.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a massa para unidades do SI e anotar a aceleração da gravidade que vamos usar. Converter massa é importante para trabalhar com momentum e forças no SI.
Converter massa:
m = 50\\ \mathrm{g} = 0,05\\ \mathrm{kg}.
Valor da gravidade que usaremos (padrão):
g = 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Agora precisamos obter a velocidade inicial \;v_0\; da bola imediatamente após a colisão. Para isso usamos a fórmula do alcance horizontal de um projétil lançado de e voltando ao mesmo nível (assumindo sem resistência do ar):
R = \frac{v_0^{2}\sin(2\theta)}{g}.
Explicando a fórmula: R é o alcance horizontal, v_0 é o módulo da velocidade inicial, \theta é o ângulo de lançamento medido da horizontal, e g é a aceleração da gravidade. A fórmula vem da combinação das equações do movimento horizontal ( x(t)=v_0\cos\theta\;t) e vertical ( y(t)=v_0\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}gt^{2}) resolvidas para o tempo de voo e substituídas no deslocamento horizontal.
No nosso caso \theta=45^\circ, então \sin(2\theta)=\sin(90^\circ)=1. Assim a fórmula simplifica para:
R = \frac{v_0^{2}}{g}\quad\Rightarrow\quad v_0 = \sqrt{R\,g}.
Substituindo os valores:
v_0 = \sqrt{200\cdot 9,8} = \sqrt{1960}.
Calculemos a raiz:
v_0 \approx 44,27\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora vamos para o impulso. Conceito: o impulso \vec{J} é a variação de quantidade de movimento (momento), isto é
\vec{J} = \Delta\vec{p} = \vec{p}_{\text{final}} - \vec{p}_{\text{inicial}}.
Aqui a bola estava em repouso antes da colisão ( \vec{p}_{\text{inicial}}=\vec{0}) e, imediatamente após a colisão, tem velocidade \vec{v}_0 de módulo v_0. Portanto a variação de momento é simplesmente m\vec{v}_0. Como o enunciado pede o módulo do impulso, temos
J = |\vec{J}| = m\,v_0.
Substituindo m=0,05\\ \mathrm{kg} e v_0\approx44,27\\ \mathrm{m/s}:
J = 0,05 \times 44,27 \approx 2,21\\ \mathrm{N\cdot s}.
Comentário didático rápido: o impulso tem unidades de \mathrm{kg\cdot m/s}, que é equivalente a \mathrm{N\cdot s}. Nota também que desprezamos a contribuição da gravidade durante o tempo de contato porque \Delta t é muito pequeno; o impulso devido à gravidade seria m g \Delta t, que é muito menor que o impulso da colisão.

Passo 5

Estimativa da força média. Relação entre impulso e força média durante um intervalo de tempo \Delta t:
\vec{J} = \vec{F}_{\text{médio}}\,\Delta t.é
Tomando módulos (se a direção da força média for aproximadamente a direção do impulso):
F_{\text{médio}} = \frac{J}{\Delta t}.é
Já temos J\approx 2,21\\ \mathrm{N\cdot s} e \Delta t=4,5\times10^{-4}\\ \mathrm{s}. Substituindo:
F_{\text{médio}} \approx \frac{2,21}{4,5\times10^{-4}} \approx 4,92\times10^{3}\\ \mathrm{N}.é
Interpretação: essa é a ordem de grandeza da força média que o taco aplica na bola durante o contato muito curto.

Resposta

(a) 2,21\\ \mathrm{N\cdot s}
(b) 4,92\times10^{3}\\ \mathrm{N}

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