Considere que a densidade de corrente em um fio cilindrico de raio
é uniforme em uma secção transversal do fio e vale
.
Suponha, agora, que a densidade de corrente através de uma secção transversal do fio varie com a distância radial r seguindo
, onde
e r está em metros. Qual a corrente que atravessa a mesma porção do fio?
Suponha, agora, que a densidade de corrente através de uma secção transversal do fio varie com a distância radial r seguindo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a corrente que atravessa uma seção transversal circular do fio quando a densidade de corrente varia radialmente segundo
.
Dados fornecidos que vamos usar:
Dados fornecidos que vamos usar:
A pergunta explícita: qual a corrente que atravessa essa mesma porção do fio (ou seja, através da seção transversal de raio
)?
Passo 2
Entendendo o que é corrente e densidade de corrente (uma mini-aula):
A densidade de corrente mede quantos amperes passam por unidade de área (unidade
). Para obter a corrente total
que atravessa uma área
, integramos a densidade de corrente sobre essa área:
A densidade de corrente
Aqui
pode depender da posição; no nosso caso depende só da distância radial
(simetria circular). Explicando cada símbolo:
é a corrente total (em amperes),
é a densidade de corrente (em
), e
é um elemento infinitesimal de área (em
).
Passo 3
Escolha de coordenadas e elemento de área:
Como a seção é circular e depende só de
, usamos coordenadas polares. O elemento de área em coordenadas polares é
Como a seção é circular e
onde
é a distância ao centro e
é o ângulo polar. Integrando
de
a
dá o fator
. Assim podemos reduzir a integral dupla à integral radial.
Passo 4
Montando a integral para
usando
:
Expliquei: multiplicamos
pelo elemento
, o produto dá
, e integrar em
gera
.
Passo 5
Fazendo a integral em
:
A primitiva de é
. Portanto
A primitiva de
Substituindo em
obtemos uma fórmula fechada:
Aqui
em metros e
nas unidades dadas produzem
em amperes.
Passo 6
Substituindo os valores numéricos passo a passo:
Converter :
Converter
Calcular
:
Multiplicar por
:
Agora aplicar o fator
:
Arredondando com três algarismos significativos (coerente com os dados dados):
Passo 7
Um comentário prático e motivador: comparando com o caso uniforme (só para intuição), se
fosse constante igual a
, a corrente seria
ou seja, cerca de
. No caso com
obtemos muito mais corrente (
) porque
cresce com
e é grande próximo à periferia.