Considere que a densidade de corrente em um fio cilindrico de raio \mathrm{R}=5.0 \mathrm{~mm} é uniforme em uma secção transversal do fio e vale \mathrm{J}=3,0 \times 105 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{\wedge} 2.
Suponha, agora, que a densidade de corrente através de uma secção transversal do fio varie com a distância radial r seguindo \mathrm{J}=\mathrm{ar}^{\wedge} 2, onde \mathrm{a}=3,0 \times 10^{\wedge} 11 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{\wedge} 4 e r está em metros. Qual a corrente que atravessa a mesma porção do fio?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a corrente que atravessa uma seção transversal circular do fio quando a densidade de corrente varia radialmente segundo \mathrm{J}=\mathrm{a}r^{2}.
Dados fornecidos que vamos usar:
R=5{,}0\\ \text{mm}=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
a=3{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^{4},
\text{densidade de corrente: }\; \mathrm{J}(r)=a\,r^{2}.
A pergunta explícita: qual a corrente que atravessa essa mesma porção do fio (ou seja, através da seção transversal de raio \,R)?

Passo 2

Entendendo o que é corrente e densidade de corrente (uma mini-aula):
A densidade de corrente \mathrm{J} mede quantos amperes passam por unidade de área (unidade \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}). Para obter a corrente total I que atravessa uma área A, integramos a densidade de corrente sobre essa área:
I=\iint_{A} \mathrm{J}\,dA.
Aqui \mathrm{J} pode depender da posição; no nosso caso depende só da distância radial r (simetria circular). Explicando cada símbolo: I é a corrente total (em amperes), \mathrm{J} é a densidade de corrente (em \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}), e dA é um elemento infinitesimal de área (em \mathrm{m}^{2}).

Passo 3

Escolha de coordenadas e elemento de área:
Como a seção é circular e \mathrm{J} depende só de r, usamos coordenadas polares. O elemento de área em coordenadas polares é
dA = r\,dr\,d\theta,
onde r é a distância ao centro e \theta é o ângulo polar. Integrando \theta de 0 a 2\pi dá o fator 2\pi. Assim podemos reduzir a integral dupla à integral radial.

Passo 4

Montando a integral para I usando \mathrm{J}(r)=a r^{2}:
I=\iint_{A} \mathrm{J}\,dA =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R} a r^{2}\,(r\,dr\,d\theta) =2\pi a \int_{0}^{R} r^{3}\,dr.
Expliquei: multiplicamos a r^{2} pelo elemento r\,dr\,d\theta, o produto dá a r^{3}\,dr\,d\theta, e integrar em \theta gera 2\pi.

Passo 5

Fazendo a integral em r:
A primitiva de r^{3} é \dfrac{r^{4}}{4}. Portanto
\int_{0}^{R} r^{3}\,dr=\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{R}=\frac{R^{4}}{4}.
Substituindo em I obtemos uma fórmula fechada:
I=2\pi a \cdot \frac{R^{4}}{4}=\frac{\pi a R^{4}}{2}.
Aqui R em metros e a nas unidades dadas produzem I em amperes.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos passo a passo:
Converter R:
R=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Calcular R^{4}:
R^{4}=(5{,}0\times10^{-3})^{4}=5^{4}\times(10^{-3})^{4}=625\times10^{-12}=6{,}25\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^{4}.
Multiplicar por a:
aR^{4}=(3{,}0\times10^{11})(6{,}25\times10^{-10})=3{,}0\times6{,}25\times10^{1}=18{,}75\times10^{1}=187{,}5.
Agora aplicar o fator \dfrac{\pi}{2}:
I=\frac{\pi}{2}\times187{,}5\approx1{,}5707963\times187{,}5\approx294{,}52\\ \mathrm{A}.
Arredondando com três algarismos significativos (coerente com os dados dados):
I\approx2{,}95\times10^{2}\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Um comentário prático e motivador: comparando com o caso uniforme (só para intuição), se \mathrm{J} fosse constante igual a 3{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, a corrente seria
I_{\text{uniforme}}=J\cdot \pi R^{2}=3{,}0\times10^{5}\cdot\pi\cdot(5{,}0\times10^{-3})^{2}\approx2{,}36\times10^{1}\\ \mathrm{A},
ou seja, cerca de 23{,}6\\ \mathrm{A}. No caso com \mathrm{J}=ar^{2} obtemos muito mais corrente ( \sim295\\ \mathrm{A}) porque \mathrm{J} cresce com r^{2} e é grande próximo à periferia.

Resposta

I=2{,}95\times10^{2}\\ \mathrm{A}

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