Uma bola de 0.5 kg , e com rigidez de
é lançada de uma altura de 2 metros com velocidade inicial de
. Calcule o fator de amortecimento para a bola não perder contato com o solo após o impacto.
Passo 1
O enunciado descreve uma bola de massa
que, ao colidir com o solo, se comporta como um sistema massa-mola-amortecedor de rigidez
. O objetivo é achar o fator de amortecimento para que, após o impacto, não ocorra separação da bola e do solo (ou seja, não haja oscilação que faça
voltar a zero).
Passo 2
Modelamos a compressão
positivando para dentro do solo. A equação de movimento, incluindo o peso, é
O ponto de equilíbrio está em
Definindo a deflexão em torno de
por
, obtemos o sistema homogêneo
Passo 3
A equação característica é
Introduzindo a frequência natural
e o coeficiente de amortecimento
, temos raízes
Para não haver oscilação (e, portanto, não haver retorno de
a zero), é necessário que as raízes sejam reais e negativas, isto é,
Passo 4
O mínimo amortecimento que garante
(criticamente amortecido) satisfaz
Numericamente,
Resposta
O fator de amortecimento mínimo (razão de amortecimento) é
o que exige um coeficiente de amortecimento