Uma bola de 0.5 kg , e com rigidez de 3 \mathrm{kN} / \mathrm{m} é lançada de uma altura de 2 metros com velocidade inicial de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule o fator de amortecimento para a bola não perder contato com o solo após o impacto.

Passo 1

O enunciado descreve uma bola de massa m=0{,}5\\ \mathrm{kg} que, ao colidir com o solo, se comporta como um sistema massa-mola-amortecedor de rigidez k=3\\ \mathrm{kN/m}=3000\\ \mathrm{N/m}. O objetivo é achar o fator de amortecimento para que, após o impacto, não ocorra separação da bola e do solo (ou seja, não haja oscilação que faça x(t) voltar a zero).

Passo 2

Modelamos a compressão x(t) positivando para dentro do solo. A equação de movimento, incluindo o peso, é
m\,\ddot x + c\,\dot x + k\,x = m\,g.
O ponto de equilíbrio está em
x_{\mathrm{eq}} = \frac{m\,g}{k}.
Definindo a deflexão em torno de x_{\mathrm{eq}} por y = x - x_{\mathrm{eq}}, obtemos o sistema homogêneo
m\,\ddot y + c\,\dot y + k\,y = 0.

Passo 3

A equação característica é
m\,s^2 + c\,s + k = 0.
Introduzindo a frequência natural \omega_n=\sqrt{\tfrac{k}{m}} e o coeficiente de amortecimento \zeta=\tfrac{c}{2\sqrt{k\,m}}, temos raízes
s = -\zeta\,\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 -1}.
Para não haver oscilação (e, portanto, não haver retorno de x a zero), é necessário que as raízes sejam reais e negativas, isto é, \zeta \ge 1.

Passo 4

O mínimo amortecimento que garante \zeta=1 (criticamente amortecido) satisfaz
c_{\mathrm{cr}} = 2\sqrt{k\,m}.
Numericamente,
c_{\mathrm{cr}} = 2\sqrt{3000\cdot 0{,}5} =2\sqrt{1500}\approx 77{,}46\\ \mathrm{N\cdot s/m}.

Resposta

O fator de amortecimento mínimo (razão de amortecimento) é
\zeta = 1,
o que exige um coeficiente de amortecimento
c \ge 77{,}46\\ \mathrm{N\cdot s/m}.

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