Um torno pode ser modelado como um motor elétrico montado em uma mesa de aço. A mesa mais o motor têm uma massa de 50 kg . As partes rotativas do torno têm massa de 5 kg a uma distância de 0,1 \mathrm{~m} do centro. A razão de amortecimento de um sistema
é medida como \zeta=0,06 (amortecimento viscoso) e sua frequência natural é de 7,5 \mathrm{~Hz}. Calcule a amplitude do deslocamento em regime permanente do motor, assumindo \omega_{\mathrm{r}}=30 \mathrm{~Hz}.

Passo 1

O enunciado descreve um torno montado sobre mesa com massa total da estrutura de 50,kg e partes rotativas com massa 5,kg deslocadas 0,1,m do eixo. O sistema tem razão de amortecimento \zeta=0{,}06 e frequência natural f_n=7{,}5,Hz. Queremos a amplitude de vibração em regime permanente quando a excitação do desbalanceamento ocorre em f_r=30,Hz. Este é um problema de vibração forçada de um grau de liberdade, onde a amplitude é dada por
X = \frac{F_0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}},
sendo r=f_r/f_n, k a rigidez, e F_0 a amplitude da força de desbalanceamento.

Passo 2

Transformamos a frequência natural em pulsação e calculamos a rigidez equivalente.
\omega_n = 2\pi f_n = 2\pi\cdot7{,}5 \approx 47{,}12\;\text{rad/s},
k = M\,\omega_n^2 = 55\cdot(47{,}12)^2 \approx 1{,}22\times10^5\;\text{N/m},
onde adotamos M=50+5=55,kg como massa total da estrutura que se desloca.

Passo 3

Calculamos a pulsação de excitação e a força de desbalanceamento.
\omega_r = 2\pi f_r = 2\pi\cdot30 \approx 188{,}50\;\text{rad/s},
F_0 = m_u\,e\,\omega_r^2 = 5\cdot0{,}1\cdot(188{,}50)^2 \approx 1{,}78\times10^4\;\text{N}.
A deflexão estática sob F_0 seria
\delta_{\text{est}} = \frac{F_0}{k} \approx \frac{1{,}78\times10^4}{1{,}22\times10^5} \approx 0{,}145\;\text{m}.

Passo 4

Calculamos a razão de frequência e o fator de amplificação dinâmico.
r = \frac{f_r}{f_n} = \frac{30}{7{,}5} = 4,
\text{MF} = \frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}} = \frac{1}{\sqrt{(1-16)^2 + (2\cdot0{,}06\cdot4)^2}} \approx 0{,}0666.

Passo 5

A amplitude em regime permanente é
X = \delta_{\text{est}}\;\text{MF} \approx 0{,}145\;\text{m}\times0{,}0666 \approx 9{,}7\times10^{-3}\;\text{m}.

Resposta

A amplitude do deslocamento em regime permanente é aproximadamente 9{,}7,mm.

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