Uma bola é lançada na base de uma rampa e a está subindo, rolando suavemente. O eixo x está orientado na direção e sentido do movimento da bola. Então, a força de atrito é:
(a) do tipo cinético e no sentido \mathbf{+} \boldsymbol{x}.
(b) do tipo estático e no sentido -x.
(c) do tipo estático e no sentido +x.
(d) do do tipo cinético e no sentido - x.
\(e) zero.)

Passo 1

O enunciado dá: uma bola é lançada na base de uma rampa e está subindo, rolando suavemente. O eixo x está orientado na direção e sentido do movimento da bola (ou seja, sentido +x é para cima da rampa). A pergunta é: qual é a natureza (estático ou cinético) e o sentido (em +x ou em -x) da força de atrito? Informação relevante fornecida: a bola está “rolando suavemente” (isto é, sem deslizar).

Passo 2

O que significa “rolando suavemente”? Explicando didaticamente: existem dois tipos de atrito que nos interessam aqui:
  • Atrito cinético (ou de deslizamento): aparece quando as superfícies deslizam uma sobre a outra; sua direção é oposta ao deslizamento e seu valor é determinado por \mu_k N (não interessa aqui o valor).
  • Atrito estático: aparece quando não há deslizamento entre superfícies; ele assume o valor necessário (até um máximo \mu_s N) para evitar o deslizamento.
    Como a bola está rolando sem deslizar, o contato é sem deslizamento ⇒ a força de atrito é do tipo estático, não cinético. Já temos metade da resposta: é atrito estático.

Passo 3

Agora vamos determinar o sentido do atrito com equações (vou explicar cada símbolo). Adoto:
  • +x para cima da rampa (sentido do movimento da bola).
  • m massa da bola, R raio, I momento de inércia em relação ao centro, g aceleração da gravidade, \theta ângulo da rampa.
  • f é a força de atrito (positiva se estiver em +x); a é a aceleração do centro de massa (positiva em +x); \alpha é a aceleração angular (escolho sentido anti-horário como positivo).
    Equilíbrio translacional na direção do eixo x:
m a = - m g \sin\theta + f.
Explicação: -m g\sin\theta é a componente da gravidade apontando para baixo da rampa (em -x); f é a força de atrito que pode apontar para +x ou -x.

Passo 4

Equação de rotação (torque em relação ao centro): a única força que gera torque sobre a bola em torno do centro é o atrito f. Com o sinal adotado (anti-horário positivo) um atrito no sentido +x gera torque negativo (para girar no sentido horário). Portanto
I\alpha = - f R.
Explicando: I é a inércia, \alpha é a aceleração angular; o sinal negativo aparece porque o torque de f tende a girar no sentido horário (negativo na nossa convenção) quando f>0.

Passo 5

Condição de rolamento sem deslizamento (relações entre a e \alpha): para não haver deslizamento,
\text{velocidade linear do CM} = R\cdot(\text{velocidade angular efetiva}),
com as convenções escolhidas isso dá, diferenciando, a relação
a = - \alpha R.
Explicando: quando o centro se acelera no sentido +x, a aceleração angular correspondente tem sinal oposto na convenção escolhida; por isso o sinal menos. Agora substituímos \alpha = -a/R na equação de rotação:
I\left(-\frac{a}{R}\right) = - f R \quad\Rightarrow\quad f = \frac{I}{R^{2}}\,a.

Passo 6

Volto à equação translacional e substituo f:
m a = - m g \sin\theta + \frac{I}{R^{2}}\,a.
Agrupando os termos em a:
\left(m - \frac{I}{R^{2}}\right) a = - m g \sin\theta.
Isolando a:
a = -\,\frac{m g \sin\theta}{\,m - \dfrac{I}{R^{2}}\,}.
E, usando f = \dfrac{I}{R^{2}}\,a, obtemos para f
f = -\,\frac{m g \sin\theta}{\dfrac{m R^{2}}{I} - 1}.
Agora uma observação importante: para um corpo rígido comum I = k m R^{2} com 0<k<1 (por exemplo, para uma esfera sólida k=\tfrac{2}{5}, para um cilindro fino k=\tfrac{1}{2}, etc.). Portanto \dfrac{m R^{2}}{I} = \dfrac{1}{k} > 1, o denominador \dfrac{m R^{2}}{I}-1 é positivo, e assim o sinal de f é o sinal do numerador com o negativo na frente:
o numerador é positivo m g\sin\theta>0, logo f<0. Conclusão: f é negativo, isto é, aponta no sentido -x (para baixo da rampa).

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar): para esfera sólida I=\tfrac{2}{5}mR^{2}. Então
f = -\,\frac{m g\sin\theta}{\dfrac{mR^{2}}{I}-1} = -\,\frac{m g\sin\theta}{\dfrac{1}{2/5}-1} = -\,\frac{m g\sin\theta}{\tfrac{5}{2}-1} = -\,\frac{2}{3}\,m g\sin\theta,
ou seja, aponta para baixo da rampa ( -x). Isso confirma que o atrito é estático e apontando para -x.

Passo 8

Interpretação física simples e intuitiva: a gravidade puxa a bola para baixo da rampa e reduz a velocidade do centro de massa; para manter rolamento sem deslizar a velocidade angular também deve reduzir-se na proporção certa. Essa redução da rotação é conseguida por um torque que tende a frear a rotação — esse torque só pode vir do atrito estático e, para frear a rotação (reduzir o giro que originalmente acompanha o movimento para cima), o atrito precisa apontar para baixo da rampa ( -x). Assim atrito estático em -x.

Resposta

(b) do tipo estático e no sentido -x.

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