Uma bola é lançada na base de uma rampa e a está subindo, rolando suavemente. O eixo
está orientado na direção e sentido do movimento da bola. Então, a força de atrito é:
(a) do tipo cinético e no sentido
.
(b) do tipo estático e no sentido
.
(c) do tipo estático e no sentido
.
(d) do do tipo cinético e no sentido -
.
\(e) zero.)
(a) do tipo cinético e no sentido
(b) do tipo estático e no sentido
(c) do tipo estático e no sentido
(d) do do tipo cinético e no sentido -
\(e) zero.)
Passo 1
O enunciado dá: uma bola é lançada na base de uma rampa e está subindo, rolando suavemente. O eixo
está orientado na direção e sentido do movimento da bola (ou seja, sentido
é para cima da rampa). A pergunta é: qual é a natureza (estático ou cinético) e o sentido (em
ou em
) da força de atrito? Informação relevante fornecida: a bola está “rolando suavemente” (isto é, sem deslizar).
Passo 2
O que significa “rolando suavemente”? Explicando didaticamente: existem dois tipos de atrito que nos interessam aqui:
- Atrito cinético (ou de deslizamento): aparece quando as superfícies deslizam uma sobre a outra; sua direção é oposta ao deslizamento e seu valor é determinado por
(não interessa aqui o valor). - Atrito estático: aparece quando não há deslizamento entre superfícies; ele assume o valor necessário (até um máximo
) para evitar o deslizamento.
Como a bola está rolando sem deslizar, o contato é sem deslizamento ⇒ a força de atrito é do tipo estático, não cinético. Já temos metade da resposta: é atrito estático.
Passo 3
Agora vamos determinar o sentido do atrito com equações (vou explicar cada símbolo). Adoto:
-
para cima da rampa (sentido do movimento da bola). -
massa da bola, raio, momento de inércia em relação ao centro, aceleração da gravidade, ângulo da rampa. -
é a força de atrito (positiva se estiver em ); é a aceleração do centro de massa (positiva em ); é a aceleração angular (escolho sentido anti-horário como positivo).
Equilíbrio translacional na direção do eixo:
Explicação:
é a componente da gravidade apontando para baixo da rampa (em
);
é a força de atrito que pode apontar para
ou
.
Passo 4
Equação de rotação (torque em relação ao centro): a única força que gera torque sobre a bola em torno do centro é o atrito
. Com o sinal adotado (anti-horário positivo) um atrito no sentido
gera torque negativo (para girar no sentido horário). Portanto
Explicando:
é a inércia,
é a aceleração angular; o sinal negativo aparece porque o torque de
tende a girar no sentido horário (negativo na nossa convenção) quando
.
Passo 5
Condição de rolamento sem deslizamento (relações entre
e
): para não haver deslizamento,
com as convenções escolhidas isso dá, diferenciando, a relação
Explicando: quando o centro se acelera no sentido
, a aceleração angular correspondente tem sinal oposto na convenção escolhida; por isso o sinal menos. Agora substituímos
na equação de rotação:
Passo 6
Volto à equação translacional e substituo
:
Agrupando os termos em
:
Isolando
:
E, usando
, obtemos para
Agora uma observação importante: para um corpo rígido comum
com
(por exemplo, para uma esfera sólida
, para um cilindro fino
, etc.). Portanto
, o denominador
é positivo, e assim o sinal de
é o sinal do numerador com o negativo na frente:
o numerador é positivo , logo
. Conclusão:
é negativo, isto é, aponta no sentido
(para baixo da rampa).
o numerador é positivo
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar): para esfera sólida
. Então
ou seja, aponta para baixo da rampa (
). Isso confirma que o atrito é estático e apontando para
.
Passo 8
Interpretação física simples e intuitiva: a gravidade puxa a bola para baixo da rampa e reduz a velocidade do centro de massa; para manter rolamento sem deslizar a velocidade angular também deve reduzir-se na proporção certa. Essa redução da rotação é conseguida por um torque que tende a frear a rotação — esse torque só pode vir do atrito estático e, para frear a rotação (reduzir o giro que originalmente acompanha o movimento para cima), o atrito precisa apontar para baixo da rampa (
). Assim atrito estático em
.
Resposta
(b) do tipo estático e no sentido
.