Considere o vetor campo elétrico produzido por um fio carregado, com formato de semicircunferência, sobre um ponto localizado no centro de curvatura.
O fio tem espessura desprezível, comprimento
, raio
e carga total
uniformemente distribuída. Determinar o módulo do vetor campo elétrico no ponto citado.
Em seguida determinar o módulo da força eletrostática sobre uma carga pontual
colocada no referido ponto.
O fio tem espessura desprezível, comprimento
Em seguida determinar o módulo da força eletrostática sobre uma carga pontual
Passo 1
Dados fornecidos:
O fio tem a forma de uma semicircunferência de raio
R
, comprimento
L
(para uma semicircunferência temos
L=\pi R
), carga total
Q
uniformemente distribuída ao longo do fio, e espessura desprezível.
Há um ponto localizado no centro de curvatura (o centro da circunferência).
Também será colocada, depois, uma carga pontual
q
nesse ponto.
O que se pede:
1) Determinar o módulo do campo elétrico no centro devido ao fio semicircular carregado.
2) Determinar o módulo da força eletrostática sobre a carga pontual
q
colocada nesse ponto.
Passo 2
Conceitos e notações que vamos usar (explicando o que cada coisa significa):
será a constante eletrostática, com
, onde
é a permissividade elétrica do vácuo.
é a densidade linear de carga, definida como carga por comprimento. Como a distribuição é uniforme,
Lembrete físico (fórmula usada): um elemento de carga
dq
gera, no ponto onde queremos o campo, um campo diferencial de módulo
onde
r
é a distância entre o elemento de carga e o ponto. No nosso problema o ponto está no centro da circunferência e a distância de qualquer elemento do fio até o centro é exatamente
R
, então
.
Passo 3
Parametrização do fio e expressão do elemento de carga:
Vamos descrever a semicircunferência por um ângulo
\theta
variando de
0
a
\pi
(isto é, o arco superior da circunferência, por exemplo). Um pequeno trecho do arco tem comprimento
ds = R,d\theta
e, portanto, a carga desse trecho é
Passo 4
Decomposição vetorial e uso da simetria:
Cada elemento está numa posição dada por
\theta
; o vetor campo devido a esse elemento aponta radialmente (do elemento para o centro). Em coordenadas cartesianas, a contribuição vetorial pode ser decomposta em componentes
e
. Usando ângulo
\theta
medido a partir do eixo
, temos as componentes (note o sentido):
com sinais apropriados (no desenvolvimento abaixo eu considero as orientações e somas). Por simetria, se o arco é a semicircunferência de
a
, as componentes horizontais (as componentes
) das contribuições de elementos opostos se anulam ao integrar, porque
é função ímpar em torno de
sobre o intervalo
:
Portanto a componente resultante do campo no centro tem apenas componente vertical (
). O sinal final indicará para cima ou para baixo; como estamos somando as contribuições, veremos o sinal ao calcular.
Passo 5
Cálculo da componente vertical resultante:
Usando
do Passo 3 e a decomposição,
Somamos (integramos) todas as contribuições ao longo do arco (
de
a
):
Calcule a integral:
Logo
Passo 6
Expressão em termos de
e
:
Substituindo
e lembrando que para uma semicircunferência
, temos
. Assim
Passo 7
Cálculo da força sobre a carga pontual
q
:
A força eletrostática sobre uma carga pontual
q
em um ponto onde existe campo elétrico
E
tem módulo
Substituindo o
encontrado:
Passo 8
Resumo didático-final (como lembrar na hora da prova):
1) Pense em dividir o fio em elementos
.
2) Use
e perceba se a distância
é constante (aqui é, porque estamos no centro de uma circunferência).
3) Decomponha em componentes; por simetria muitas componentes se cancelam (aqui as horizontais).
4) Integre a componente sobrevivente sobre o ângulo.
5) Substitua
(e
para semicircunferência) e multiplique por
se quiser a força. Você consegue fazer essa integral de cabeça rapidamente:
.