Considere o vetor campo elétrico produzido por um fio carregado, com formato de semicircunferência, sobre um ponto localizado no centro de curvatura.
O fio tem espessura desprezível, comprimento \mathbf{L}, raio \mathbf{R} e carga total \mathbf{Q} uniformemente distribuída. Determinar o módulo do vetor campo elétrico no ponto citado.
Em seguida determinar o módulo da força eletrostática sobre uma carga pontual \mathbf{q} colocada no referido ponto.

Passo 1

Dados fornecidos:
O fio tem a forma de uma semicircunferência de raio R , comprimento L (para uma semicircunferência temos L=\pi R ), carga total Q uniformemente distribuída ao longo do fio, e espessura desprezível. Há um ponto localizado no centro de curvatura (o centro da circunferência). Também será colocada, depois, uma carga pontual q nesse ponto.
O que se pede:
1) Determinar o módulo do campo elétrico no centro devido ao fio semicircular carregado. 2) Determinar o módulo da força eletrostática sobre a carga pontual q colocada nesse ponto.

Passo 2

Conceitos e notações que vamos usar (explicando o que cada coisa significa):
k será a constante eletrostática, com k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, onde \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo.
\lambda é a densidade linear de carga, definida como carga por comprimento. Como a distribuição é uniforme,
\lambda=\dfrac{Q}{L}.
Para a semicircunferência temos L=\pi R , então \lambda=\dfrac{Q}{\pi R} (vou usar essa relação quando for conveniente).
Lembrete físico (fórmula usada): um elemento de carga dq gera, no ponto onde queremos o campo, um campo diferencial de módulo
dE = k\frac{dq}{r^2},
onde r é a distância entre o elemento de carga e o ponto. No nosso problema o ponto está no centro da circunferência e a distância de qualquer elemento do fio até o centro é exatamente R , então r=R.

Passo 3

Parametrização do fio e expressão do elemento de carga:
Vamos descrever a semicircunferência por um ângulo \theta variando de 0 a \pi (isto é, o arco superior da circunferência, por exemplo). Um pequeno trecho do arco tem comprimento ds = R,d\theta e, portanto, a carga desse trecho é
dq = \lambda\,ds = \lambda R\,d\theta.
Como explicado, a contribuição em módulo desse elemento para o campo no centro é
dE = k\frac{dq}{R^2} = k\frac{\lambda R\,d\theta}{R^2} = k\frac{\lambda}{R}\,d\theta.
Observe que dE depende apenas de d\theta (e de constantes): isso fica simples porque a distância do elemento ao ponto é constante.

Passo 4

Decomposição vetorial e uso da simetria:
Cada elemento está numa posição dada por \theta ; o vetor campo devido a esse elemento aponta radialmente (do elemento para o centro). Em coordenadas cartesianas, a contribuição vetorial pode ser decomposta em componentes x e y. Usando ângulo \theta medido a partir do eixo x, temos as componentes (note o sentido):
dE_x = dE\cos\theta,\qquad dE_y = dE\sin\theta,
com sinais apropriados (no desenvolvimento abaixo eu considero as orientações e somas). Por simetria, se o arco é a semicircunferência de \theta=0 a \theta=\pi, as componentes horizontais (as componentes x) das contribuições de elementos opostos se anulam ao integrar, porque \cos\theta é função ímpar em torno de \theta=\pi/2 sobre o intervalo [0,\pi]:
\int_{0}^{\pi} \cos\theta\,d\theta = 0.
Portanto a componente resultante do campo no centro tem apenas componente vertical ( y). O sinal final indicará para cima ou para baixo; como estamos somando as contribuições, veremos o sinal ao calcular.

Passo 5

Cálculo da componente vertical resultante:
Usando dE do Passo 3 e a decomposição,
dE_y = dE\sin\theta = \left(k\frac{\lambda}{R}\,d\theta\right)\sin\theta.
Somamos (integramos) todas as contribuições ao longo do arco ( \theta de 0 a \pi):
E_y = \int_{0}^{\pi} dE_y = k\frac{\lambda}{R}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.
Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \big[-\cos\theta\big]_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1)+1 = 2.
Logo
E_y = k\frac{\lambda}{R}\cdot 2 = \frac{2k\lambda}{R}.
Quanto ao sinal: no desenvolvimento geométrico o vetor resultante aponta para baixo se o arco está acima do centro (cada contribuição aponta do elemento para o centro, i.e., sentido radial para dentro); como o enunciado pede o módulo do campo, ficamos com o valor positivo acima.

Passo 6

Expressão em termos de Q e R:
Substituindo \lambda=\dfrac{Q}{L} e lembrando que para uma semicircunferência L=\pi R, temos \lambda=\dfrac{Q}{\pi R}. Assim
E = \frac{2k\lambda}{R} = \frac{2k}{R}\cdot\frac{Q}{\pi R} = \frac{2kQ}{\pi R^2}.
Comentário sobre k: se quiser escrever com \varepsilon_0, basta usar k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, o que dá
E=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{R^2} = \frac{Q}{2\pi^2\varepsilon_0 R^2}.
Mas a forma mais compacta e familiar é
E=\dfrac{2kQ}{\pi R^2}.

Passo 7

Cálculo da força sobre a carga pontual q :
A força eletrostática sobre uma carga pontual q em um ponto onde existe campo elétrico E tem módulo
F = qE.
Substituindo o E encontrado:
F = q\cdot\frac{2kQ}{\pi R^2} = \frac{2kQq}{\pi R^2}.
Direção e sentido da força seguem os mesmos do campo (repulsão ou atração dependendo dos sinais de Q e q), mas o enunciado pediu o módulo, então esse é o valor.

Passo 8

Resumo didático-final (como lembrar na hora da prova):
1) Pense em dividir o fio em elementos dq. 2) Use dE=k\,dq/r^2 e perceba se a distância r é constante (aqui é, porque estamos no centro de uma circunferência). 3) Decomponha em componentes; por simetria muitas componentes se cancelam (aqui as horizontais). 4) Integre a componente sobrevivente sobre o ângulo. 5) Substitua \lambda=Q/L (e L=\pi R para semicircunferência) e multiplique por q se quiser a força. Você consegue fazer essa integral de cabeça rapidamente: \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2.

Resposta

E=\dfrac{2kQ}{\pi R^{2}}\n
F=\dfrac{2kQq}{\pi R^{2}}

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