Considere o vetor campo elétrico produzido por um disco carregado, sobre um ponto localizado sobre o eixo de simetria perpendicular ao plano do fio, a uma distância \boldsymbol{a}.
O disco tem espessura desprezível, raio \mathbf{R} e carga total \mathbf{Q} uniformemente distribuída. Determinar o módulo do vetor campo elétrico no ponto citado.
Em seguida determinar o módulo da força eletrostática sobre uma carga pontual \mathbf{q} colocada no referido ponto.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar o módulo do campo elétrico no ponto que fica sobre o eixo de simetria do disco, a uma distância a do plano do disco.
  2. Determinar o módulo da força eletrostática sobre uma carga pontual q colocada nesse ponto.
Informações dadas (todas importantes):
  • O disco tem espessura desprezível (é um disco fino).
  • O raio do disco é R.
  • A carga total do disco é Q, distribuída de forma uniforme sobre a superfície do disco.
  • O ponto onde queremos o campo fica sobre o eixo perpendicular ao plano do disco, a uma distância a do disco.
  • Queremos o módulo do campo elétrico e, em seguida, o módulo da força sobre uma carga pontual q colocada nesse ponto.

Passo 2

Ideia física e método (explicado passo a passo, sem pular etapas)
  • Pelo princípio da superposição, o campo total produzido por um distribuidor de carga é a soma (integral) dos campos produzidos por cada pedaço infinitesimal de carga.
  • Por simetria axial do disco: em qualquer ponto sobre o eixo, as componentes laterais (radiais) do campo oriundas de elementos de carga simétricos se cancelam; sobra apenas a componente ao longo do eixo (chamarei de componente z, com z=a medindo a distância do plano do disco até o ponto).
  • Estratégia conveniente: decompor o disco em anéis concêntricos de raio r e espessura dr. Cada anel é fácil de tratar: conhecemos a expressão do campo no eixo gerado por um anel carregado.
  • Vou definir variáveis usadas:
    • r = raio do anel elementar (variável de integração).
    • dr = espessura radial do anel.
    • \sigma = densidade superficial de carga do disco (carga por unidade de área). Como a carga é uniforme, \sigma=\frac{Q}{\pi R^{2}}.
    • dq = carga do anel elementar.
    • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} = constante eletrostática (usarei também \varepsilon_{0}).
  • Campo de um anel: considere um anel de raio r, carga dq, no plano z=0. No ponto sobre o eixo a distância a, a contribuição de módulo do campo do anel total (apontando ao longo do eixo) é dE = k\,\frac{dq}{(a^{2}+r^{2})}\cdot\frac{a}{\sqrt{a^{2}+r^{2}}}.Explicando essa fórmula:
    • O campo produzido por um elemento de carga a distância \sqrt{a^{2}+r^{2}} tem módulo k\,dq/(\,a^{2}+r^{2}\,).
    • A componente ao longo do eixo é esse módulo vezes \cos\theta, onde \cos\theta = a/\sqrt{a^{2}+r^{2}}.
    • Multiplicando obtemos dE = k\,dq\,\dfrac{a}{(a^{2}+r^{2})^{3/2}}.
      (a forma equivalente e mais usada é a última; vou usar esta.)
  • Agora expressar dq do anel: o anel de raio r tem comprimento 2\pi r e área aproximada 2\pi r\,dr, então dq = \sigma\cdot 2\pi r\,dr.

Passo 3

Montagem da integral e cálculo passo a passo
  • Substituindo dq em dE obtemos a contribuição axial do anel: dE = k\; \frac{\sigma\;2\pi r\,dr \; a}{(a^{2}+r^{2})^{3/2}}.
  • O campo total E no ponto é a integral de dE para r de 0 até R: E = \int_{0}^{R} k\; \frac{\sigma\;2\pi r\, a}{(a^{2}+r^{2})^{3/2}}\,dr.
  • Factorizando constantes que não dependem de r: E = k\;2\pi\sigma\, a \int_{0}^{R} \frac{r\,dr}{(a^{2}+r^{2})^{3/2}}.
  • Calcular a integral. Faço a substituição simples u=a^{2}+r^{2}. Então du = 2r\,dr e r\,dr = du/2. Quando r=0 temos u=a^{2}; quando r=R temos u=a^{2}+R^{2}.
    Assim a integral vira \int_{0}^{R} \frac{r\,dr}{(a^{2}+r^{2})^{3/2}} = \int_{u=a^{2}}^{u=a^{2}+R^{2}} \frac{1}{2}\, u^{-3/2}\,du.
  • Integrando u^{-3/2}: uma primitiva é -2\,u^{-1/2}. Multiplicando pelo 1/2 dá primitiva -u^{-1/2}. Avaliando os limites: \int_{a^{2}}^{a^{2}+R^{2}} \frac{1}{2}u^{-3/2}\,du = \Big[-u^{-1/2}\Big]_{a^{2}}^{a^{2}+R^{2}} = -\frac{1}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{a^{2}}}.Como \sqrt{a^{2}}=a (assumindo a>0), isso é \frac{1}{a} - \frac{1}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}.
  • Substituindo de volta em E: E = k\;2\pi\sigma\, a \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right).Simplificando o a que multiplica: E = k\;2\pi\sigma\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right).
  • Reconhecendo constantes: k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}, então k\;2\pi\sigma = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;2\pi\sigma = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.Portanto uma forma muito conhecida e compacta é E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right).
  • Agora, se quisermos em termos da carga total Q (porque o enunciado deu Q), lembramos que \sigma = \dfrac{Q}{\pi R^{2}}. Substituindo: E = k\;2\pi\left(\frac{Q}{\pi R^{2}}\right)\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right) = \frac{2kQ}{R^{2}}\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right).Ou, usando \varepsilon_{0} em vez de k, E = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_{0}R^{2}}\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right).

Passo 4

Interpretações rápidas (úteis para a prova)
  • Limite R\to\infty (plano infinito): \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\to 0, então E\to \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}, que é o campo de uma folha infinita — faz sentido físico.
  • Limite R\to 0 com Q fixo (toda carga concentrada): expandindo dá E\to k\,\dfrac{Q}{a^{2}}, que é o campo de uma carga pontual Q à distância a — também faz sentido.
  • Direção do campo: se Q>0 o campo aponta para fora do disco (para cima no eixo positivo); se Q<0 aponta para baixo. Como a questão pede módulo, usamos o valor positivo da expressão acima.

Passo 5

Força sobre uma carga pontual q
  • A força elétrica é dada pela lei de Coulomb para uma carga em um campo: a força vetorial é \mathbf{F}=q\mathbf{E}.
  • Como nos pediram o módulo, basta multiplicar o módulo do campo por |q|: F = |q|\,E.
  • Substituindo a expressão de E em termos de Q e R obtemos a forma final para o módulo da força: F = |q|\;\frac{Q}{2\pi\varepsilon_{0}R^{2}}\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right).(ou a versão com k: F = |q|\dfrac{2kQ}{R^{2}}\left(1-\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right).)

Resposta

E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right) = \frac{2kQ}{R^{2}}\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_{0}R^{2}}\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right)
F = |q|\,E = |q|\;\frac{Q}{2\pi\varepsilon_{0}R^{2}}\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right)

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