Considere o vetor campo elétrico produzido por um disco carregado, sobre um ponto localizado sobre o eixo de simetria perpendicular ao plano do fio, a uma distância
.
O disco tem espessura desprezível, raio
e carga total
uniformemente distribuída. Determinar o módulo do vetor campo elétrico no ponto citado.
Em seguida determinar o módulo da força eletrostática sobre uma carga pontual
colocada no referido ponto.
O disco tem espessura desprezível, raio
Em seguida determinar o módulo da força eletrostática sobre uma carga pontual
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar o módulo do campo elétrico no ponto que fica sobre o eixo de simetria do disco, a uma distância
do plano do disco. - Determinar o módulo da força eletrostática sobre uma carga pontual
colocada nesse ponto.
Informações dadas (todas importantes):
- O disco tem espessura desprezível (é um disco fino).
- O raio do disco é
. - A carga total do disco é
, distribuída de forma uniforme sobre a superfície do disco. - O ponto onde queremos o campo fica sobre o eixo perpendicular ao plano do disco, a uma distância
do disco. - Queremos o módulo do campo elétrico e, em seguida, o módulo da força sobre uma carga pontual
colocada nesse ponto.
Passo 2
Ideia física e método (explicado passo a passo, sem pular etapas)
- Pelo princípio da superposição, o campo total produzido por um distribuidor de carga é a soma (integral) dos campos produzidos por cada pedaço infinitesimal de carga.
- Por simetria axial do disco: em qualquer ponto sobre o eixo, as componentes laterais (radiais) do campo oriundas de elementos de carga simétricos se cancelam; sobra apenas a componente ao longo do eixo (chamarei de componente
, com medindo a distância do plano do disco até o ponto). - Estratégia conveniente: decompor o disco em anéis concêntricos de raio
e espessura . Cada anel é fácil de tratar: conhecemos a expressão do campo no eixo gerado por um anel carregado. - Vou definir variáveis usadas:
-
= raio do anel elementar (variável de integração). -
= espessura radial do anel. -
= densidade superficial de carga do disco (carga por unidade de área). Como a carga é uniforme, -
= carga do anel elementar. -
= constante eletrostática (usarei também ).
-
- Campo de um anel: considere um anel de raio
, carga , no plano . No ponto sobre o eixo a distância , a contribuição de módulo do campo do anel total (apontando ao longo do eixo) é Explicando essa fórmula: - O campo produzido por um elemento de carga a distância
tem módulo . - A componente ao longo do eixo é esse módulo vezes
, onde . - Multiplicando obtemos
.
(a forma equivalente e mais usada é a última; vou usar esta.)
- O campo produzido por um elemento de carga a distância
- Agora expressar
do anel: o anel de raio tem comprimento e área aproximada , então
Passo 3
Montagem da integral e cálculo passo a passo
- Substituindo
em obtemos a contribuição axial do anel: - O campo total
no ponto é a integral de para de até : - Factorizando constantes que não dependem de
: - Calcular a integral. Faço a substituição simples
. Então e . Quando temos ; quando temos .
Assim a integral vira - Integrando
: uma primitiva é . Multiplicando pelo dá primitiva . Avaliando os limites: Como (assumindo ), isso é - Substituindo de volta em
: Simplificando o que multiplica: - Reconhecendo constantes:
, então Portanto uma forma muito conhecida e compacta é - Agora, se quisermos em termos da carga total
(porque o enunciado deu ), lembramos que . Substituindo: Ou, usando em vez de ,
Passo 4
Interpretações rápidas (úteis para a prova)
- Limite
(plano infinito): , então , que é o campo de uma folha infinita — faz sentido físico. - Limite
com fixo (toda carga concentrada): expandindo dá , que é o campo de uma carga pontual à distância — também faz sentido. - Direção do campo: se
o campo aponta para fora do disco (para cima no eixo positivo); se aponta para baixo. Como a questão pede módulo, usamos o valor positivo da expressão acima.
Passo 5
Força sobre uma carga pontual
- A força elétrica é dada pela lei de Coulomb para uma carga em um campo: a força vetorial é
. - Como nos pediram o módulo, basta multiplicar o módulo do campo por
: - Substituindo a expressão de
em termos de e obtemos a forma final para o módulo da força: (ou a versão com : .)