Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir da janela do nono andar de um prédio e atinge uma altura máxima de 50 m em relação ao solo. Sabendo que a altura da janela do nono andar é de 27 m em relação ao solo, determine:
a) a velocidade inicial de lançamento da bola
b) o tempo necessário para a bola atingir a altura máxima
c) a velocidade da bola no instante em que atinge o solo
d) o tempo total do movimento desde o instante do lançamento da bola da janela do nono andar até o instante em que a bola atinge o solo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claro para não nos perder):
  • Altura máxima atingida pela bola em relação ao solo: \,y_{\max}=50\\ \mathrm{m}\,.
  • Altura da janela (ponto de lançamento) em relação ao solo: \,y_{0}=27\\ \mathrm{m}\,.
  • Precisamos encontrar quatro coisas:
    (a) a velocidade inicial da bola \,v_{0}\, no instante do lançamento;
    (b) o tempo necessário para a bola atingir a altura máxima;
    (c) a velocidade da bola no instante em que atinge o solo;
    (d) o tempo total do movimento desde o lançamento até atingir o solo.
  • Vou adotar a convenção: eixo vertical positivo para cima e aceleração da gravidade \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\, apontando para baixo (logo a aceleração será -g no nosso eixo).

Passo 2

Relembrando as fórmulas de cinemática vertical (essas são as ferramentas que vamos usar). Explico o que cada símbolo significa:
  • \,v(t)\, é a velocidade no instante t.
  • \,v_{0}\, é a velocidade inicial (no instante t=0).
  • \,a\, é a aceleração (aqui \,a=-g).
  • \,y(t)\, é a altura no instante t.
  • \,y_{0}\, é a altura inicial (aqui 27\\ \mathrm{m}).
    As fórmulas úteis são:
v(t)=v_{0}+a\,t
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\,(y-y_{0})
y(t)=y_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2}
Observação sobre sinais: como definimos para cima positivo, a=-g=-9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Para achar a velocidade inicial \,v_{0}\, usemos a fórmula que relaciona velocidades e deslocamento até o ponto mais alto. No ponto de altura máxima a velocidade é zero: \,v=0. Aplicando
0=v_{0}^{2}+2a\,(y_{\max}-y_{0}).
Substituindo a=-g e isolando v_{0}:
v_{0}^{2}=2g\,(y_{\max}-y_{0}).
Calcule o deslocamento até o máximo:
y_{\max}-y_{0}=50-27=23\\ \mathrm{m}.
Agora os números:
v_{0}^{2}=2\cdot 9,8\cdot 23 = 19,6\cdot 23 = 450,8.
v_{0}=\sqrt{450,8}\approx 21,23\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a velocidade inicial é \,21,23\\ \mathrm{m/s} para cima. (Isso faz sentido: com essa velocidade sobe mais 23\\ \mathrm{m} até 50\\ \mathrm{m}.)

Passo 3

Tempo para atingir a altura máxima. Use a fórmula da velocidade em função do tempo:
v(t)=v_{0}+a\,t.
No topo v=0, então
0=v_{0}-g\,t_{\text{subida}}
(portanto a=-g substituído). Isolando:
t_{\text{subida}}=\frac{v_{0}}{g}.
Substituindo o valor encontrado para \,v_{0}\,:
t_{\text{subida}}=\frac{21,23}{9,8}\approx 2,17\\ \mathrm{s}.
Interpretação: demora cerca de \,2,17\\ \mathrm{s} para a bola ir da janela até a altura máxima.

Passo 4

Velocidade da bola ao atingir o solo. Podemos usar novamente a relação entre velocidades e deslocamento, agora do ponto de lançamento ( y_{0}=27\\ \mathrm{m}) até o solo ( y=0). A fórmula é
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\,(y-y_{0}).
Aqui y-y_{0}=0-27=-27\\ \mathrm{m} e a=-g. Então:
v^{2}=v_{0}^{2}+2(-g)(-27)=v_{0}^{2}+2g\cdot 27.
Substituindo números (note que já tínhamos v_{0}^{2}=450,8):
v^{2}=450,8+19,6\cdot 27=450,8+529,2=980,0.
v=\pm\sqrt{980,0}\approx \pm 31,31\\ \mathrm{m/s}.
Como a bola está se movendo para baixo ao atingir o solo, a velocidade é negativa no nosso eixo (para cima positivo). Assim:
v_{\text{no solo}}=-31,31\\ \mathrm{m/s}.
Se preferir só a magnitude: 31,31\\ \mathrm{m/s} para baixo.

Passo 5

Tempo total do movimento (do lançamento até o instante em que atinge o solo). Duas maneiras equivalentes: (i) somar o tempo de subida com o tempo de queda a partir do ponto mais alto; ou (ii) resolver a equação da posição para y(t)=0. Vou mostrar as duas para ficar bem claro.
Método (i) — soma parcial:
  • Tempo de subida já temos: t_{\text{subida}}\approx 2,17\\ \mathrm{s}.
  • Tempo de queda da altura máxima y_{\max}=50\\ \mathrm{m} até o solo ( y=0), com velocidade inicial zero nesse trecho, é obtido por
y_{\max}=\tfrac{1}{2}g\,t_{\text{queda}}^{2}\quad\Rightarrow\quad t_{\text{queda}}=\sqrt{\frac{2y_{\max}}{g}}.
Substituindo:
t_{\text{queda}}=\sqrt{\frac{2\cdot 50}{9,8}}=\sqrt{\frac{100}{9,8}}\approx 3,19\\ \mathrm{s}.
Logo o tempo total:
t_{\text{total}}=t_{\text{subida}}+t_{\text{queda}}\approx 2,17+3,19=5,36\\ \mathrm{s}.
Método (ii) — resolver a equação do movimento desde t=0:
y(t)=y_{0}+v_{0}t-\tfrac{1}{2}g t^{2}=0.
Isto é
-4,9\,t^{2}+21,23\,t+27=0.
Multiplicando por -1 para usar a fórmula quadrática padrão:
4,9\,t^{2}-21,23\,t-27=0.
Solução positiva:
t=\frac{21,23+\sqrt{21,23^{2}+4\cdot 4,9\cdot 27}}{2\cdot 4,9}.
Calcule o discriminante (já vimos os componentes):
21,23^{2}+19,6\cdot 27 = 450,8+529,2=980,0,
\sqrt{980,0}=31,31.
Portanto
t=\frac{21,23+31,31}{9,8}=\frac{52,54}{9,8}\approx 5,36\\ \mathrm{s},
o mesmo resultado do método (i). Conclusão: o tempo total desde o lançamento até o impacto é \approx 5,36\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) \;v_{0}=21,23\\ \mathrm{m/s}
(b) \;t_{\text{subida}}=2,17\\ \mathrm{s}
(c) \;v_{\text{no solo}}=-31,31\\ \mathrm{m/s}
(d) \;t_{\text{total}}=5,36\\ \mathrm{s}

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