Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir da janela do nono andar de um prédio e atinge uma altura máxima de 50 m em relação ao solo. Sabendo que a altura da janela do nono andar é de 27 m em relação ao solo, determine:
a) a velocidade inicial de lançamento da bola
b) o tempo necessário para a bola atingir a altura máxima
c) a velocidade da bola no instante em que atinge o solo
d) o tempo total do movimento desde o instante do lançamento da bola da janela do nono andar até o instante em que a bola atinge o solo.
a) a velocidade inicial de lançamento da bola
b) o tempo necessário para a bola atingir a altura máxima
c) a velocidade da bola no instante em que atinge o solo
d) o tempo total do movimento desde o instante do lançamento da bola da janela do nono andar até o instante em que a bola atinge o solo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claro para não nos perder):
- Altura máxima atingida pela bola em relação ao solo:
. - Altura da janela (ponto de lançamento) em relação ao solo:
. - Precisamos encontrar quatro coisas:
(a) a velocidade inicial da bolano instante do lançamento;
(b) o tempo necessário para a bola atingir a altura máxima;
(c) a velocidade da bola no instante em que atinge o solo;
(d) o tempo total do movimento desde o lançamento até atingir o solo. - Vou adotar a convenção: eixo vertical positivo para cima e aceleração da gravidade
apontando para baixo (logo a aceleração será no nosso eixo).
Passo 2
Relembrando as fórmulas de cinemática vertical (essas são as ferramentas que vamos usar). Explico o que cada símbolo significa:
-
é a velocidade no instante . -
é a velocidade inicial (no instante ). -
é a aceleração (aqui ). -
é a altura no instante . -
é a altura inicial (aqui ).
As fórmulas úteis são:
Observação sobre sinais: como definimos para cima positivo,
.
Para achar a velocidade inicial
usemos a fórmula que relaciona velocidades e deslocamento até o ponto mais alto. No ponto de altura máxima a velocidade é zero:
. Aplicando
Substituindo
e isolando
:
Calcule o deslocamento até o máximo:
Agora os números:
Interpretação: a velocidade inicial é
para cima. (Isso faz sentido: com essa velocidade sobe mais
até
.)
Passo 3
Tempo para atingir a altura máxima. Use a fórmula da velocidade em função do tempo:
No topo
, então
(portanto
substituído). Isolando:
Substituindo o valor encontrado para
:
Interpretação: demora cerca de
para a bola ir da janela até a altura máxima.
Passo 4
Velocidade da bola ao atingir o solo. Podemos usar novamente a relação entre velocidades e deslocamento, agora do ponto de lançamento (
) até o solo (
). A fórmula é
Aqui
e
. Então:
Substituindo números (note que já tínhamos
):
Como a bola está se movendo para baixo ao atingir o solo, a velocidade é negativa no nosso eixo (para cima positivo). Assim:
Se preferir só a magnitude:
para baixo.
Passo 5
Tempo total do movimento (do lançamento até o instante em que atinge o solo). Duas maneiras equivalentes: (i) somar o tempo de subida com o tempo de queda a partir do ponto mais alto; ou (ii) resolver a equação da posição para
. Vou mostrar as duas para ficar bem claro.
Método (i) — soma parcial:
- Tempo de subida já temos:
. - Tempo de queda da altura máxima
até o solo ( ), com velocidade inicial zero nesse trecho, é obtido por
Substituindo:
Logo o tempo total:
Método (ii) — resolver a equação do movimento desde
:
Isto é
Multiplicando por
para usar a fórmula quadrática padrão:
Solução positiva:
Calcule o discriminante (já vimos os componentes):
Portanto
o mesmo resultado do método (i). Conclusão: o tempo total desde o lançamento até o impacto é
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)