Uma partícula se desloca ao longo de uma linha reta e a sua posição,
, é dada como função do tempo
segundo a equação
onde
é medido em metros (m) e
em segundos (s). Calcule:
a) as posições da partícula nos instantes
e
b) o deslocamento da partícula (
) entre os instantes do item anterior
c) a velocidade média entre os mesmos instantes
d) a equação da velocidade instantânea da partícula
e) a equação da aceleração instantânea da partícula.
a) as posições da partícula nos instantes
b) o deslocamento da partícula (
c) a velocidade média entre os mesmos instantes
d) a equação da velocidade instantânea da partícula
e) a equação da aceleração instantânea da partícula.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula como função do tempo:
com
em metros e
em segundos. As perguntas são:
a) calcular as posições nos instantes e
;
b) calcular o deslocamento entre esses instantes;
c) calcular a velocidade média no intervalo entre esses instantes;
d) obter a equação da velocidade instantânea ;
e) obter a equação da aceleração instantânea .
a) calcular as posições nos instantes
b) calcular o deslocamento
c) calcular a velocidade média no intervalo entre esses instantes;
d) obter a equação da velocidade instantânea
e) obter a equação da aceleração instantânea
Passo 2
Calcular
. Substituir
em
.
Agora fazer as contas passo a passo:
Somando:
Portanto
Passo 3
Calcular
. Substituir
:
Fazer as contas:
Somando:
Portanto
Passo 4
Calcular o deslocamento
entre
e
. Definição:
Substituindo os valores que já achamos:
Logo
(Obs.: deslocamento é diferença de posição; não estou calculando a distância total percorrida se houvesse volta.)
Passo 5
Calcular a velocidade média
no intervalo
. Fórmula:
onde
. Substituindo:
Portanto
(Interpretação: é a razão entre mudança de posição e tempo total do intervalo.)
Passo 6
Obter a velocidade instantânea
. Definição: velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo,
Vou derivar cada termo de
- a derivada de
é ; - a derivada de
é (regra: derivada de é ); - a derivada de
é (usei a regra do poder: ).
Portanto
Unidade:
.
Como verificação rápida (não pedido, só para intuir):
Passo 7
Obter a aceleração instantânea
. Definição: aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo,
Derivando
:
- derivada de
é ; - derivada de
é .
Assim
Unidade:
.
Verificação rápida (opcional):
,
.
Passo 8
Resumo final e motivação curta: calculamos posições numéricas (substituição direta + aritmética), usamos definição de deslocamento e razão para velocidade média, e aplicamos derivadas term-by-term (regra do poder e constantes) para obter velocidade e aceleração instantâneas. Está tudo coerente: a aceleração sendo
aumenta linearmente com o tempo, o que explica por que
cresce com
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)