Uma partícula se desloca ao longo de uma linha reta e a sua posição, x, é dada como função do tempo t segundo a equação
x(t)=1+6 t+\frac{t^{3}}{6}
onde x(t) é medido em metros (m) e t em segundos (s). Calcule:
a) as posições da partícula nos instantes t=6 \mathrm{~s} e t=12 \mathrm{~s}
b) o deslocamento da partícula ( \Delta x ) entre os instantes do item anterior
c) a velocidade média entre os mesmos instantes
d) a equação da velocidade instantânea da partícula
e) a equação da aceleração instantânea da partícula.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como função do tempo:
x(t)=1+6t+\frac{t^{3}}{6},
com x em metros e t em segundos. As perguntas são:
a) calcular as posições nos instantes t=6\\ \mathrm{s} e t=12\\ \mathrm{s};
b) calcular o deslocamento \Delta x entre esses instantes;
c) calcular a velocidade média no intervalo entre esses instantes;
d) obter a equação da velocidade instantânea v(t);
e) obter a equação da aceleração instantânea a(t).

Passo 2

Calcular x(6). Substituir t=6 em \;x(t)=1+6t+\dfrac{t^{3}}{6}\;.
x(6)=1+6\cdot 6+\frac{6^{3}}{6}.
Agora fazer as contas passo a passo:
6\cdot 6=36, \qquad 6^{3}=6\cdot6\cdot6=216, \qquad \frac{216}{6}=36.
Somando:
x(6)=1+36+36=73.
Portanto x(6)=73\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular x(12). Substituir t=12:
x(12)=1+6\cdot 12+\frac{12^{3}}{6}.
Fazer as contas:
6\cdot 12=72, \qquad 12^{3}=12\cdot12\cdot12=144\cdot12=1728, \qquad \frac{1728}{6}=288.
Somando:
x(12)=1+72+288=361.
Portanto x(12)=361\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o deslocamento \Delta x entre t=6\\ \mathrm{s} e t=12\\ \mathrm{s}. Definição:
\Delta x = x(12)-x(6).
Substituindo os valores que já achamos:
\Delta x = 361-73=288.
Logo \Delta x=288\\ \mathrm{m}. (Obs.: deslocamento é diferença de posição; não estou calculando a distância total percorrida se houvesse volta.)

Passo 5

Calcular a velocidade média \bar{v} no intervalo [6,12]. Fórmula:
\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t},
onde \Delta t=12-6=6\\ \mathrm{s}. Substituindo:
\bar{v}=\frac{288}{6}=48.
Portanto \bar{v}=48\\ \mathrm{m/s}. (Interpretação: é a razão entre mudança de posição e tempo total do intervalo.)

Passo 6

Obter a velocidade instantânea v(t). Definição: velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo,
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Vou derivar cada termo de \;x(t)=1+6t+\dfrac{t^{3}}{6}\;:
  • a derivada de 1 é 0;
  • a derivada de 6t é 6 (regra: derivada de at é a);
  • a derivada de \dfrac{t^{3}}{6} é \dfrac{1}{6}\cdot 3t^{2}=\dfrac{3}{6}t^{2}=\dfrac{t^{2}}{2} (usei a regra do poder: \dfrac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1}).
    Portanto
v(t)=6+\frac{t^{2}}{2}.
Unidade: \mathrm{m/s}.
Como verificação rápida (não pedido, só para intuir):
v(6)=6+\frac{6^{2}}{2}=6+\frac{36}{2}=6+18=24\\ \mathrm{m/s}, \qquad v(12)=6+\frac{12^{2}}{2}=6+\frac{144}{2}=6+72=78\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Obter a aceleração instantânea a(t). Definição: aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo,
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Derivando v(t)=6+\dfrac{t^{2}}{2}:
  • derivada de 6 é 0;
  • derivada de \dfrac{t^{2}}{2} é \dfrac{1}{2}\cdot 2t = t.
    Assim
a(t)=t.
Unidade: \mathrm{m/s^{2}}.
Verificação rápida (opcional): a(6)=6\\ \mathrm{m/s^{2}}, a(12)=12\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 8

Resumo final e motivação curta: calculamos posições numéricas (substituição direta + aritmética), usamos definição de deslocamento e razão para velocidade média, e aplicamos derivadas term-by-term (regra do poder e constantes) para obter velocidade e aceleração instantâneas. Está tudo coerente: a aceleração sendo a(t)=t aumenta linearmente com o tempo, o que explica por que v(t) cresce com t^{2}.

Resposta

(a) x(6)=73\\ \mathrm{m},\; x(12)=361\\ \mathrm{m}
(b) \Delta x=288\\ \mathrm{m}
(c) \bar{v}=48\\ \mathrm{m/s}
(d) v(t)=6+\dfrac{t^{2}}{2}\\ \mathrm{m/s}
(e) a(t)=t\\ \mathrm{m/s^{2}}

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