Uma bola maciça e homogênea, de massa
e raio
, desce rolando um plano inclinado de um ângulo
sem deslizar. Sabendo que o momento de inércia da esfera é
, determine:
a) Todas as forças que atuam sobre a bola.
b)
módulo, a direção e o sentido da força de atrito estático
.
c) O módulo, a direção e o sentido da aceleração do centro de massa da esfera.
a) Todas as forças que atuam sobre a bola.
b)
c) O módulo, a direção e o sentido da aceleração do centro de massa da esfera.
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera homogênea de massa
e raio
rolando sem deslizar num plano inclinado de ângulo
. O conteúdo envolve dinâmica de rotação e translação com rolamento sem deslizamento. Vamos precisar identificar as forças que atuam, escrever as equações de Newton para a translação e para a rotação, e usar a condição de não deslizamento
.
Passo 2
As forças em jogo são:
A força peso atuando verticalmente para baixo;
A força normal perpendicular ao plano inclinado;
A força de atrito estático de módulo
, tangente ao plano.
A força peso
A força normal
A força de atrito estático
Passo 3
Escolhendo eixo
ao longo do plano para baixo e eixo
perpendicular ao plano, a decomposição do peso e o equilíbrio em
dão
Para o eixo
, a segunda lei de Newton na translação é
Passo 4
Para a rotação em torno do centro de massa, o torque da força de atrito é
. Aplicando
e usando
e
, temos
Passo 5
Substituindo
na equação de translação
Passo 6
O módulo de
é
Passo 7
Como a esfera tende a deslizar para baixo do plano, o atrito estático age no sentido oposto, isto é, para cima do plano. A aceleração do centro de massa tem direção ao longo do plano e sentido para baixo.
Resposta
a) As forças são o peso
(vertical para baixo), a normal
(perpendicular ao plano) e o atrito estático
(tangente ao plano).
b) , direção tangencial ao plano e sentido para cima do plano.
c) , direção tangencial ao plano e sentido para baixo do plano.
b)
c)