Uma bola maciça e homogênea, de massa m e raio R, desce rolando um plano inclinado de um ângulo theta sem deslizar. Sabendo que o momento de inércia da esfera é I=2 m R^25, determine:
a) Todas as forças que atuam sobre a bola.
b) O módulo, a direção e o sentido da força de atrito estático fe.
c) O módulo, a direção e o sentido da aceleração do centro de massa da esfera.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera homogênea de massa m e raio R rolando sem deslizar num plano inclinado de ângulo theta. O conteúdo envolve dinâmica de rotação e translação com rolamento sem deslizamento. Vamos precisar identificar as forças que atuam, escrever as equações de Newton para a translação e para a rotação, e usar a condição de não deslizamento a=alpha R.

Passo 2

As forças em jogo são:
A força peso P=mg atuando verticalmente para baixo;
A força normal N perpendicular ao plano inclinado;
A força de atrito estático fe de módulo fe, tangente ao plano.

Passo 3

Escolhendo eixo x ao longo do plano para baixo e eixo y perpendicular ao plano, a decomposição do peso e o equilíbrio em y dão
N = m g costheta
Para o eixo x, a segunda lei de Newton na translação é
m a = m g sintheta - fe

Passo 4

Para a rotação em torno do centro de massa, o torque da força de atrito é tau = fe,R. Aplicando tau=I,alpha e usando I=tfrac25mR^2 e alpha = a/R, temos
fe,R = 25mR^2,aR ;Longrightarrow; fe = 25m,a

Passo 5

Substituindo fe=(2/5)m,a na equação de translação
m a = m g sintheta - 25m,a ;Longrightarrow; al(1+25r)=gsintheta ;Longrightarrow; a = 57,gsintheta

Passo 6

O módulo de fe é
fe = 25m,a = 25m;57gsintheta = 27,m gsintheta

Passo 7

Como a esfera tende a deslizar para baixo do plano, o atrito estático age no sentido oposto, isto é, para cima do plano. A aceleração do centro de massa tem direção ao longo do plano e sentido para baixo.

Resposta

a) As forças são o peso P=mg (vertical para baixo), a normal N=m gcostheta (perpendicular ao plano) e o atrito estático fe (tangente ao plano).
b) fe=27,m gsintheta, direção tangencial ao plano e sentido para cima do plano.
c) a=57,gsintheta, direção tangencial ao plano e sentido para baixo do plano.

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