Uma bola é solta de um barco de modo que atinge a superfície de um lago com velocidade de 16.5 m / s. Enquanto está na água, a bola experimenta uma aceleração a=10-0.8v, onde a e v são expressos em m / s^2 e m / s, respectivamente. Sabendo que a bola leva 3 s para chegar ao fundo do lago, determine a profundidade do lago.

Passo 1

Então, o enunciado diz que uma bola entra na água com velocidade inicial a = dvdt = 10 - 0.8,v, e, enquanto afunda, sofre uma aceleração dada por
Ela leva 3 s para chegar ao fundo do lago. A matéria envolvida é Equações Diferenciais de 1º ordem (linhas de velocidade) e integração para achar distância. Vamos precisar:
  1. Resolver a EDO linear .
  2. Encontrar .
  3. Integrar de 0 a 3 s para achar a profundidade.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação diferencial linear:
dvdt +0.8,v =10
A parte homogênea é 0 +0.8,vp =10 Longrightarrow vp = 100.8=12,5 m/s , cuja solução é v(t) = vp + vh(t) =12,5 + C,e^-0.8t .
Para a solução particular, procuramos . Substituindo:
Logo, a solução geral é

Passo 3

Usamos a condição inicial 16,5 = 12,5 + CLongrightarrow C = 4 , então
boxedv(t) = 12,5 + 4,e^-0.8t(m/s)
Ficando

Passo 4

Agora, a profundidade s = integral0^3 v(t),dt = integral0^3 l(12.5 + 4e^-0.8tr) dt é a integral da velocidade em 0 a 3 s:
s = 12.5 cdot 3 ;+;4integral0^3 e^-0.8tdt =37,5 +4[e^-0.8t-0.8]0^3
Que separa em duas integrais:
integral0^3 e^-0.8tdt = 10.8l(1 - e^-0.8cdot3r) =1.25,(1 - e^-2.4)
Calculando:
s = 37,5 +4cdot1.25,(1 - e^-2.4) =37,5 +5,(1 - e^-2.4)
Então

Passo 5

Só falta calcular numericamente:
e^-2.4approx 0.0907 Longrightarrow s approx 37,5 +5,(1 - 0.0907) =37,5 +5cdot0.9093 approx 37,5 +4,5465 approx 42,05 m

Resposta

A profundidade do lago é aproximadamente .

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