Uma bola é solta de um barco de modo que atinge a superfície de um lago com velocidade de
. Enquanto está na água, a bola experimenta uma aceleração
, onde
e
são expressos em
e
, respectivamente. Sabendo que a bola leva 3 s para chegar ao fundo do lago, determine a profundidade do lago.
Passo 1
Então, o enunciado diz que uma bola entra na água com velocidade inicial
e, enquanto afunda, sofre uma aceleração dada por
Ela leva 3 s para chegar ao fundo do lago. A matéria envolvida é Equações Diferenciais de 1º ordem (linhas de velocidade) e integração para achar distância. Vamos precisar:
- Resolver a EDO linear
. - Encontrar
. - Integrar
de 0 a 3 s para achar a profundidade.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação diferencial linear:
A parte homogênea é
, cuja solução é
.
Para a solução particular, procuramos . Substituindo:
Para a solução particular, procuramos
Logo, a solução geral é
Passo 3
Usamos a condição inicial
, então
Ficando
Passo 4
Agora, a profundidade
é a integral da velocidade em 0 a 3 s:
Que separa em duas integrais:
Calculando:
Então
Passo 5
Só falta calcular numericamente:
Resposta
A profundidade do lago é aproximadamente
.