Iniciando a partir de v=0 sem velocidade inicial, uma partícula recebe uma aceleração a=-0.1 raizv^2+16, onde a e v são expressos em m / s^2 e m / s, respectivamente. Determine a posição da partícula quando v=20 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede.
– Temos uma partícula saindo do repouso, ou seja, a = -0.1,raizv^2 + 16,, .
– A aceleração é dada por
onde e .
Conteúdo: equações diferenciais de movimento unidimensional, separação de variáveis.
O que vamos precisar:
  1. Expressar em termos de usando .
  2. Relacionar e via .
  3. Integrar de até e de até .

Passo 2

Escrevendo as definições:
a = dvdt = -0.1,raizv^2 + 16 Longrightarrow dt = dva = dv-0.1,raizv^2+16,
Também sabemos que
v = dxdt Longrightarrow dx = v,dt

Passo 3

Substituindo dx = v,dv-0.1,raizv^2+16 = -10,vraizv^2+16,dv em integral0^x dx ;=; -10 integral0^v vraizv^2+16,dv :
Agora integramos ambos os lados, de até e de até :

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado direito. Usamos a substituição
u = v^2 + 16 Longrightarrow du = 2v,dv Longrightarrow v,dv = du2
Então
integral vraizv^2+16,dv = integral 1raizu;du2 = 12 cdot 2raizu = raizv^2 + 16
Logo,
x = -10l[raizv^2+16r]0^v = -10l(raizv^2+16 - raiz0^2+16r) = -10l(raizv^2+16 - 4r)

Passo 5

Agora só falta colocar x(20) = -10l(raiz20^2+16 - 4r) = -10l(raiz400+16 - 4r) = -10l(raiz416 - 4r) :
x(20)approx -10,(20.396 - 4) = -10,(16.396) = -163.96;m
Como ,

Resposta

A posição da partícula quando boxedx approx -164:m é

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