A aceleração de uma partícula é definida pela relação
, onde
é expressa em
e
em
. Sabendo que em
a velocidade é
, determine (a) a distância que a partícula percorrerá antes de parar, (b) o tempo necessário para que a velocidade da partícula seja
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a aceleração é dada por
com
(a) a distância total que a partícula percorre antes de “parar” (isto é, antes de
(b) o tempo necessário para
O conteúdo envolvido aqui é equação diferencial de 1ª ordem, separação de variáveis e integração de funções exponenciais. Vamos precisar usar:
- A relação
- Separar variáveis para obter
- Integrar
Passo 2
Primeiro, escrevemos a definição de aceleração como derivada da velocidade:
Isso é uma equação diferencial simples onde a taxa de variação de
depende de
mesma. A técnica que usamos chama-se separação de variáveis: colocamos todos os termos com
de um lado e
do outro.
Passo 3
Separamos variáveis assim:
Agora integramos os dois lados:
Como
aqui, podemos tirar o valor absoluto e achar a constante
usando
:
Logo,
Passo 4
(a) Para a distância total até “parar”, integramos a velocidade de
até
:
A integral de uma exponencial decrescente é
Passo 5
(b) Para achar o tempo em que
, a gente vê que
é sempre positiva e só se anula no limite
. Em outras palavras, a partícula leva um tempo infinito para chegar exatamente a zero de velocidade.
Resposta
(a) A partícula percorre
antes de parar.
(b) O tempo necessário para chegar a zero é infinito (
).
(b) O tempo necessário para