A aceleração de uma partícula é definida pela relação a=-0.8v, onde a é expressa em m / s^2 e v em m / s. Sabendo que em t=0 a velocidade é 1 m / s, determine (a) a distância que a partícula percorrerá antes de parar, (b) o tempo necessário para que a velocidade da partícula seja

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a aceleração é dada por
a = -0.8,v
com em e em . No instante , temos . Precisamos encontrar:
(a) a distância total que a partícula percorre antes de “parar” (isto é, antes de ),
(b) o tempo necessário para chegar a zero.
O conteúdo envolvido aqui é equação diferencial de 1ª ordem, separação de variáveis e integração de funções exponenciais. Vamos precisar usar:
- A relação .
- Separar variáveis para obter .
- Integrar para achar e a distância total.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a definição de aceleração como derivada da velocidade:
a = dvdt = -0.8,v
Isso é uma equação diferencial simples onde a taxa de variação de depende de mesma. A técnica que usamos chama-se separação de variáveis: colocamos todos os termos com de um lado e do outro.

Passo 3

Separamos variáveis assim:
dvv = -0.8,dt
Agora integramos os dois lados:
integral 1v,dv = integral -0.8,dt ;;Longrightarrow;; ln|v| = -0.8,t + C
Como ln v = -0.8,t + C, ln(1)=0 = C aqui, podemos tirar o valor absoluto e achar a constante ln v = -0.8,t Longrightarrow v(t) = e^-0.8,t usando :
Logo,

Passo 4

(a) Para a distância total até “parar”, integramos a velocidade de xrm total = integral0^infty v(t),dt = integral0^infty e^-0.8,t,dt até integral0^infty e^-0.8,t,dt = l[-tfrac10.8e^-0.8,tr]0^infty = 10.8l(1 - 0r) = 1.25rm m :
A integral de uma exponencial decrescente é

Passo 5

(b) Para achar o tempo em que v(t) = e^-0.8,t , a gente vê que
é sempre positiva e só se anula no limite . Em outras palavras, a partícula leva um tempo infinito para chegar exatamente a zero de velocidade.

Resposta

(a) A partícula percorre antes de parar.
(b) O tempo necessário para chegar a zero é infinito ( ).

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