Uma bola é solta de um barco de modo que atinge a superfície de um lago com velocidade de 16.5 m / s. Enquanto está na água, a bola experimenta uma aceleração a=10-0.8v, onde a e v são expressos em m / s^2 e m / s, respectivamente. Sabendo que a bola leva 3 s para chegar ao fundo do lago, determine a velocidade da bola ao atingir o fundo do lago.

Passo 1

Resumo do problema: uma bola entra na água com velocidade inicial a = 10 - 0.8,v, e sofre aceleração dada por
dvdt + P,v = Q
onde . A questão é encontrar a velocidade ao fim de 3 s.
Conteúdo: equação diferencial de 1ª ordem (linear) e método do fator integrante. Vamos precisar saber que aceleração é a derivada da velocidade e como resolver uma equação do tipo

Passo 2

Escrevendo a equação diferencial: como dvdt = 10 - 0.8,v, temos
dvdt + 0.8,v = 10
Reorganizando no formato padrão de equação linear:
Aqui e .

Passo 3

Método do fator integrante: para uma equação mu(t) = e^integral P,dt = e^0.8,t, definimos o fator integrante
e^0.8t,dvdt + 0.8,e^0.8t,v = 10,e^0.8t
Multiplicando toda a equação por ddtl(v,e^0.8tr) = 10,e^0.8t:
O lado esquerdo vira derivada do produto:

Passo 4

Integramos dos instantes 0 até integral0^t ddtl(v,e^0.8tr),dt = integral0^t 10,e^0.8t,dt ;Longrightarrow; v,e^0.8t|0^t = 10;e^0.8t-10.8 :
v(t),e^0.8t - v(0),e^0 = 100.8l(e^0.8t-1r) ;Longrightarrow; v(t) = 100.8l(1 - e^-0.8tr) + v(0),e^-0.8t
Isso dá
v(t) = 12.5l(1 - e^-0.8tr) + 16.5,e^-0.8t = 12.5 + (16.5 - 12.5),e^-0.8t = 12.5 + 4,e^-0.8t
Como e , então

Passo 5

Agora basta calcular em v(3) = 12.5 + 4,e^-0.8cdot3 = 12.5 + 4,e^-2.4 approx 12.5 + 4 times 0.0907 approx 12.5 + 0.3628 approx 12.86 m/s :

Resposta

A velocidade da bola ao atingir o fundo do lago é aproximadamente .

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