Determine o estado de tensão dado por sigmax, sigmay e tauxy se as deformações medidas na direção y for 150.10^-6 e na direção a for 280.10^-6. Sabe-se que a direção b é uma direção principal, o módulo de elasticidade do material no qual as medidas foram feitas é 70 GPa e o coeficiente de Poisson igual a 0,33 .

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que temos:
  • Queremos σₓ, σᵧ e τₓᵧ (estado de tensão biaxial com cisalhamento).
  • Foram medidas duas deformações:
    • εᵧ = 150·10⁻⁶ (na direção y)
    • εₐ = 280·10⁻⁶ (na direção “a”)
  • Sabe-se que a direção b é DIREÇÃO PRINCIPAL de tensão (logo também principal de deformação).
  • Módulo de elasticidade E = 70 GPa, ν = 0,33.
    Para resolver isso a gente vai precisar de:
  1. Relações de transformação de deformação (εₐ em função de εₓ, εᵧ e γₓᵧ).
  2. Lei de Hooke para plano tensão (εₓ, εᵧ, γₓᵧ em função de σₓ, σᵧ, τₓᵧ).
  3. Condição de principal (τ no eixo principal = 0).

Passo 2

Escrever εₐ em função das incógnitas εₓ, εᵧ e γₓᵧ. Se α for o ângulo entre o eixo x e a direção a, a fórmula de transformação de deformação é:
εa = εxcos^2α ;+; εysin^2α ;+;tfrac12,γxy,sin2α
e já sabemos que
εy = 150times10^-6,

Passo 3

Agora entramos com a lei de Hooke (plano tensão, isotrópico):
εx = dfrac1El(σx - ν,σyr),[6pt] εy = dfrac1El(σy - ν,σxr),[6pt] γxy = dfrac1+νE;τxy
Dessa forma εₓ e γₓᵧ viram funções lineares de σₓ, σᵧ e τₓᵧ.

Passo 4

Como a direção b é principal, a tensão de cisalhamento nesse eixo é zero. Se β for o ângulo que o eixo b faz com x, temos
τx'y' ;=; τxycos2β ;-;tfracσx-σy2sin2β ;=;0
Isso garante que (σₓ,σᵧ,τₓᵧ) estejam “alinhados” para que b seja principal.

Passo 5

Juntando tudo temos:
  1. εᵧ = (1/E)(σᵧ – νσₓ) = 150·10⁻⁶
  2. εₐ = [ (1/E)(σₓ – νσᵧ) ]·cos²α + [150·10⁻⁶]·sin²α
    • ½·[(1+ν)/E·τₓᵧ]·sin2α = 280·10⁻⁶
  3. τ_{xy}cos2β – (σₓ–σᵧ)/2·sin2β = 0
São três equações para as três incógnitas σₓ, σᵧ, τₓᵧ. Na prática você:
  • substitui εₓ e γₓᵧ pela lei de Hooke em (1) e em (2);
  • usa (3) para eliminar τₓᵧ ou relação entre σₓ e σᵧ;
  • aí resolve linearmente.

Resposta

As expressões fechadas (antes de entrar com o valor numérico do ângulo α e do ângulo β) ficam:
σₓ = \dfrac{E}{1–ν^2}\Bigl[ ε_a·\bigl(cos²α – ν sin²α\bigr) ;–; ε_y·(ν cos²α – sin²α) \Bigr]
τₓᵧ = \dfrac{E}{1+ν}; \dfrac{ε_a – ε_y}{\sin2α}
σᵧ = \dfrac{E}{1–ν^2}\Bigl[ ε_y – ν εₓ\Bigr]
Basta então inserir εₐ=280·10⁻⁶, εᵧ=150·10⁻⁶, E=70 GPa, ν=0,33 e o valor de α (ângulo da direção a).

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