Uma bola de vidro com 2,00 cm de raio repousa no fundo de um copo de leite. A massa específica do leite é 1,03 g / cm^3 e o módulo da força normal que o fundo do copo exerce sobre a bola é 9,48 times 10^-2 N. Determine: a) a massa da bola; b) a massa específica do vidro considerando a bola maciça; c) a massa específica do vidro considerando a bola oca, sendo o espaço oco igual a uma esfera de 1,00 cm de raio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma bola de vidro com raio de 2,00 cm descansando no fundo de um copo de leite. Sabemos que a massa específica do leite é 1,03 g/cm³ e que a força normal exercida pelo fundo do copo sobre a bola é 9,48 times 10^-2 N. Nosso objetivo é:
a) Encontrar a massa da bola;
b) Determinar a massa específica do vidro considerando que a bola é maciça;
c) Calcular a massa específica do vidro considerando que a bola é oca, com um espaço oco de raio 1,00 cm.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física como força normal, empuxo e massa específica (densidade). Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força normal. Quando a bola está no fundo do copo, a força que o copo exerce para sustentar a bola é a força normal ( N). Essa força equilibra o peso da bola menos o empuxo que o leite exerce sobre ela. A fórmula que relaciona essas forças é:
N = mg - E
Onde:
  • m é a massa da bola;
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 , m/s²²);
  • E é o empuxo exercido pelo leite.

Passo 3

Vamos calcular o empuxo ( E). O empuxo é dado pela fórmula:
E = rholíquido times V times g í
Onde:
  • rholíquidoí é a massa específica do leite ( 1,03 , g/cm³³);
  • V é o volume da bola submersa;
  • g é a aceleração da gravidade.
Primeiro, precisamos calcular o volume da bola de vidro. Como a bola é uma esfera, o volume ( V) é:
V = 43 pi r³ ³
Com r = 2,00 , cm:
V = 43 pi (2,00)^3 = 323 pi , cm³ ³
Convertendo a massa específica do leite para kg/m³ para manter as unidades consistentes:
1,03 , g/cm³ = 1030 , kg/m³ ³³
E o volume em m³:
V = 323 pi times 10^-6 , m³ ³
Agora, calculamos o empuxo:
E = 1030 times 323 pi times 10^-6 times 9,81
\

Passo 4

Agora que temos o empuxo, podemos reorganizar a primeira equação para encontrar a massa ( m) da bola:
N = mg - E
Então:
mg = N + E
m = N + Eg
Substituindo os valores:
m = 9,48 times 10^-2 + E9,81
Vamos calcular E primeiro:
E = 1030 times 323 pi times 10^-6 times 9,81
E approx 1030 times 33,51 times 10^-6
E approx 0,0345 , N
Agora, calculamos m:
m = 9,48 times 10^-2 + 0,03459,81
m approx 0,0948 + 0,03459,81
m approx 0,12939,81
m approx 0,0132 , kg
m approx 13,2 , g

Passo 5

Pronto, chegamos à primeira parte! A massa da bola é aproximadamente 13,2 gramas.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b: determinar a massa específica do vidro considerando que a bola é maciça.
A massa específica ( rho) é dada por:
rho = mV
Já calculamos a massa ( m = 13,2 , g) e o volume da bola ( V = 323 pi , cm³ approx 33,51 , cm³³³).
Então:
rho = 13,233,51
rho approx 0,394 , g/cm³ ³

Passo 7

Então, a massa específica do vidro, considerando que a bola é maciça, é aproximadamente 0,394 , g/cm³³.

Passo 8

Finalmente, a parte c: calcular a massa específica do vidro considerando que a bola é oca, com um espaço oco de raio 1,00 cm.
Primeiro, precisamos calcular o volume da parte oca. A esfera oca tem raio 1,00 , cm, então seu volume ( Voco) é:
Voco = 43 pi (1,00)^3 = 43 pi , cm³ approx 4,19 , cm³ ³³
O volume total da bola permanece 33,51 , cm³³, então o volume de vidro é:
Vvidro = Vtotal - Voco
Vvidro = 33,51 - 4,19
Vvidro approx 29,32 , cm³ ³
Agora, usando a mesma massa ( m = 13,2 , g):
rho = mVvidrio
rho = 13,229,32
rho approx 0,449 , g/cm³ ³

Resposta

a) A massa da bola é aproximadamente 13,2 g;
b) A massa específica do vidro, considerando a bola maciça, é aproximadamente 0,394 g/cm³;
c) A massa específica do vidro, considerando a bola oca com um espaço de 1,00 cm de raio, é aproximadamente 0,449 g/cm³.

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