Determine a energia potencial de cada uma das seguintes forças caso seja conservativa:
(a)
.
(b)
.
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra achar a energia potencial
de três campos de força distintos, assumindo que eles sejam conservativos. Isso cai em “Cálculo Vetorial” – mais precisamente na parte de campos conservativos e potencial escalar. Para resolver vamos:
- Lembrar que, se um campo
é conservativo, existe tal que . - Verificar (quando for preciso) se
realmente é conservativo (checar o “curl” ou as condições em coordenadas adequadas). - Se for, integrar componentes de
para montar .
Passo 2
(a) Campo em coordenadas cartesianas:
- Conferindo que é conservativo (rapidamente dá pra ver que
, etc.). - Para achar
a gente usa
.
Integramos em: - Agora exigimos
.
Derivando a expressão deem e igualando a , encontramos - Finalmente, da condição em
(isto é, ) a gente vê que .
Juntando tudo dá uma forma compacta:
Passo 3
(b) Campo em coordenadas cilíndricas
:
Para um campo cilíndrico ser conservativo precisa satisfazer
.
Calculando, dá algo proporcional a em geral, ou seja, falha a condição de “curl zero”.
Logo não é conservativo e não existe energia potencial única.
Calculando, dá algo proporcional a
Logo não é conservativo e não existe energia potencial única.
Passo 4
© Campo em coordenadas esféricas
:
A verificação das condições de irrotacionalidade em esféricas falha também (o “curl” não some).
Portanto tampouco é conservativo e não há energia potencial.
Portanto tampouco é conservativo e não há energia potencial.
Resposta
(a)
(b) Campo não conservativo sem potencial.
© Campo não conservativo sem potencial.
(b) Campo não conservativo
© Campo não conservativo