Determine a energia potencial de cada uma das seguintes forças caso seja conservativa:
(a) Fx=2 a x(z^3+y^3), Fy=2 a y(z^3+y^3)+3 a y^2(x^2+y^2), Fz=3 a z^2(x^2+y^2).
(b) Frho=a rho^2 cos varphi, Fvarphi=a rho^2 sen varphi, Fz=2 a z^2.
© Fr=-2 a rsen theta cos varphi, Ftheta=-arcos theta cos varphi, Fvarphi=arsen theta sen varphi

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar a energia potencial de três campos de força distintos, assumindo que eles sejam conservativos. Isso cai em “Cálculo Vetorial” – mais precisamente na parte de campos conservativos e potencial escalar. Para resolver vamos:
  1. Lembrar que, se um campo é conservativo, existe tal que .
  2. Verificar (quando for preciso) se realmente é conservativo (checar o “curl” ou as condições em coordenadas adequadas).
  3. Se for, integrar componentes de para montar .

Passo 2

(a) Campo em coordenadas cartesianas:
Fx = 2a,x,(z^3+y^3), Fy = 2a,y,(z^3+y^3)+3a,y^2,(x^2+y^2), Fz = 3a,z^2,(x^2+y^2)
  1. Conferindo que é conservativo (rapidamente dá pra ver que U = -integral 2a,x,(z^3+y^3),dx = -a,x^2,(z^3+y^3) + g(y,z) , etc.).
  2. Para achar g(y,z) = -a,y^2,z^3 ;-; a,y^5 + h(z) a gente usa
    boxedU(x,y,z) = -,a,(x^2+y^2),(z^3+y^3) + C .
    Integramos em :
  3. Agora exigimos
    .
    Derivando a expressão de em e igualando a , encontramos
  4. Finalmente, da condição em (isto é, ) a gente vê que .
    Juntando tudo dá uma forma compacta:

Passo 3

(b) Campo em coordenadas cilíndricas Frho = a,rho^2cosvarphi, Fvarphi = a,rho^2sinvarphi, Fz = 2a,z^2 :
Para um campo cilíndrico ser conservativo precisa satisfazer
.
Calculando, dá algo proporcional a em geral, ou seja, falha a condição de “curl zero”.
Logo não é conservativo e não existe energia potencial única.

Passo 4

© Campo em coordenadas esféricas Fr = -2a,rsinthetacosvarphi, Ftheta = -a,rcosthetacosvarphi, Fvarphi = a,rsinthetasinvarphi :
A verificação das condições de irrotacionalidade em esféricas falha também (o “curl” não some).
Portanto tampouco é conservativo e não há energia potencial.

Resposta

(a)
(b) Campo não conservativo sem potencial.
© Campo não conservativo sem potencial.

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