Diga quais das seguintes forças são conservativas e determine a energia potencial para as que forem:
(a) Fx=6 a b z^3 y-20 b x^3 y^2, Fy=6 a b x z^3-10 b x^4 y, Fz=18 a b x z^2 y.
(b) Fx=18 a b y z^3-20 b x^3 y^2, Fy=18 a b x z^3-10 b x^4 y, Fz=6 a b x y z^2.
© F=x Fx(x)+y Fy(y)+z Fz(z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de forças conservativas. A gente vai precisar entender o que são forças conservativas e como determinar a energia potencial associada a elas. No caso, vamos analisar as forças dadas nos itens (a), (b) e © para ver se são conservativas e, se forem, encontrar a energia potencial correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma força conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final. Matemáticamente, isso significa que o rotacional da força deve ser igual a zero, ou seja, nabla times F = 0. Se a força for conservativa, podemos encontrar uma função potencial U tal que F = -nabla U.

Passo 3

Vamos começar com o item (a). As componentes da força são:
Fx = 6 a b z^3 y - 20 b x^3 y^2,
Fy = 6 a b x z^3 - 10 b x^4 y,
Fz = 18 a b x z^2 y
Para verificar se essa força é conservativa, vamos calcular o rotacional nabla times F.

Passo 4

Calculando cada componente do rotacional:
( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) = partialpartial y(18 a b x z^2 y) - partialpartial z(6 a b x z^3 - 10 b x^4 y) = 18 a b x z^2 - 18 a b x z^2 = 0,
( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) = partialpartial z(6 a b z^3 y - 20 b x^3 y^2) - partialpartial x(18 a b x z^2 y) = 18 a b z^2 y - 18 a b z^2 y = 0,
( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) = partialpartial x(6 a b x z^3 - 10 b x^4 y) - partialpartial y(6 a b z^3 y - 20 b x^3 y^2) = 6 a b z^3 - 40 b x^3 y - 6 a b z^3 + 40 b x^3 y = 0

Passo 5

Como todas as componentes do rotacional são zero, a força no item (a) é conservativa. Agora vamos encontrar a energia potencial U tal que F = -nabla U.

Passo 6

Integrando Fx em relação a x, temos:
U = -integral Fx dx = -integral (6 a b z^3 y - 20 b x^3 y^2) dx = -6 a b z^3 y x + 5 b x^4 y^2 + g(y, z),
onde g(y, z) é uma função que depende de y e z.

Passo 7

Agora, derivamos U em relação a y e igualamos a -Fy:
partial Upartial y = -6 a b z^3 x + 10 b x^4 y + partial gpartial y = -Fy = - (6 a b x z^3 - 10 b x^4 y) = -6 a b x z^3 + 10 b x^4 y
Isso implica que partial gpartial y = 0, então g não depende de y.

Passo 8

Derivamos U em relação a z e igualamos a -Fz:
partial Upartial z = -18 a b z^2 y x + partial gpartial z = -Fz = -18 a b x z^2 y
Isso implica que partial gpartial z = 0, então g é constante.

Passo 9

Portanto, a energia potencial é:
U = -6 a b z^3 y x + 5 b x^4 y^2 + C,
onde C é uma constante.

Resposta

A força no item (a) é conservativa, e a energia potencial associada é:
U = -6 a b x y z^3 + 5 b x^4 y^2 + C,
onde C é uma constante.

Exercícios relacionados