Diga quais das seguintes forças são conservativas e determine a energia potencial para as que forem:
(a)
.
(b)
.
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de forças conservativas. A gente vai precisar entender o que são forças conservativas e como determinar a energia potencial associada a elas. No caso, vamos analisar as forças dadas nos itens (a), (b) e © para ver se são conservativas e, se forem, encontrar a energia potencial correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma força conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final. Matemáticamente, isso significa que o rotacional da força deve ser igual a zero, ou seja,
. Se a força for conservativa, podemos encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 3
Vamos começar com o item (a). As componentes da força são:
Para verificar se essa força é conservativa, vamos calcular o rotacional
.
Passo 4
Calculando cada componente do rotacional:
Passo 5
Como todas as componentes do rotacional são zero, a força no item (a) é conservativa. Agora vamos encontrar a energia potencial
tal que
.
Passo 6
Integrando
em relação a
, temos:
onde
é uma função que depende de
e
.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
não depende de
.
Passo 8
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é constante.
Passo 9
Portanto, a energia potencial é:
onde
é uma constante.
Resposta
A força no item (a) é conservativa, e a energia potencial associada é:
onde
é uma constante.