Se {\boldsymbol{\lambda}:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{3} é o caminho {\boldsymbol{\lambda}(t)=(1+t, 1+2 t, t), calcular a integral de linha
\int_{\boldsymbol{\lambda}}(x+2 y+z) d x+2 y d y+(3 x-z) d z

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \boldsymbol{\lambda}:[0,2]\to\mathbb{R}^3 com
\boldsymbol{\lambda}(t)=(1+t,\;1+2t,\;t),\qquad t\in[0,2],
e pede o valor da integral de linha da forma diferencial
\int_{\boldsymbol{\lambda}}(x+2y+z)\,dx+2y\,dy+(3x-z)\,dz.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função vetorial (curva) \boldsymbol{\lambda}(t) fornece x(t)=1+t, y(t)=1+2t e z(t)=t.
  • O intervalo de parametrização é t\in[0,2].
  • É preciso calcular a integral de linha da 1-forma P\,dx+Q\,dy+R\,dz com P(x,y,z)=x+2y+z, Q(x,y,z)=2y e R(x,y,z)=3x-z.

Passo 2

Explicação didática do método que vou usar (passo a passo, sem pular etapas):
Uma integral de linha de uma 1-forma P\,dx+Q\,dy+R\,dz ao longo de uma curva parametrizada \boldsymbol{\lambda}(t)=(x(t),y(t),z(t)), t\in[a,b], é calculada pela fórmula
\int_{\boldsymbol{\lambda}}P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\bigr)\,dt.
O que isso significa, em palavras: substituir x,y,z por suas expressões em t, calcular as derivadas x'(t),y'(t),z'(t), formar a combinação P x'+Q y'+R z' e integrar em t no intervalo dado. Vou aplicar exatamente isso.

Passo 3

Calcular as derivadas das coordenadas em função de t. A partir de \boldsymbol{\lambda}(t):
x(t)=1+t\quad\Rightarrow\quad x'(t)=1,
y(t)=1+2t\quad\Rightarrow\quad y'(t)=2,
z(t)=t\quad\Rightarrow\quad z'(t)=1.
Estas são as taxas de variação das coordenadas ao longo da curva; serão multiplicadas pelos valores de P,Q,R avaliados na curva.

Passo 4

Avaliar P,Q,R ao longo da curva, ou seja em x=x(t),y=y(t),z=z(t).
Primeiro, lembrar as definições:
P(x,y,z)=x+2y+z,\qquad Q(x,y,z)=2y,\qquad R(x,y,z)=3x-z.
Agora substituir x=1+t, y=1+2t, z=t.
Calcular passo a passo:
Para P:
P(x(t),y(t),z(t))=(1+t)+2(1+2t)+t.
Desenvolvendo somas e produtos:
(1+t)+2(1+2t)+t=1+t+2+4t+t=3+6t.
Para Q:
Q(x(t),y(t),z(t))=2y(t)=2(1+2t)=2+4t.
Para R:
R(x(t),y(t),z(t))=3x(t)-z(t)=3(1+t)-t=3+3t-t=3+2t.

Passo 5

Formar a função integranda usando a fórmula da integral de linha:
\text{integrando}(t)=P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t).
Substituindo os valores já calculados e x'(t)=1,\,y'(t)=2,\,z'(t)=1:
\text{integrando}(t)=(3+6t)\cdot 1+(2+4t)\cdot 2+(3+2t)\cdot 1.
Agora simplificar passo a passo:
(3+6t)+(4+8t)+(3+2t).
Somando termos constantes e termos em t separadamente:
constantes: 3+4+3=10,
coeficientes de t: 6+8+2=16.
Logo
\text{integrando}(t)=10+16t.

Passo 6

Integrar a função obtida no intervalo t\in[0,2]:
\int_{\boldsymbol{\lambda}}(x+2y+z)\,dx+2y\,dy+(3x-z)\,dz=\int_{0}^{2}(10+16t)\,dt.
Calcular a integral:
\int_{0}^{2}10\,dt=10t\Big|_{0}^{2}=10\cdot 2-10\cdot 0=20,
\int_{0}^{2}16t\,dt=8t^{2}\Big|_{0}^{2}=8\cdot 4-0=32.
Somando os dois resultados:
20+32=52.

Resposta

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