Se
é o caminho
, calcular a integral de linha
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
com
e pede o valor da integral de linha da forma diferencial
Informações relevantes fornecidas:
- A função vetorial (curva)
fornece , e . - O intervalo de parametrização é
. - É preciso calcular a integral de linha da 1-forma
com , e .
Passo 2
Explicação didática do método que vou usar (passo a passo, sem pular etapas):
Uma integral de linha de uma 1-forma ao longo de uma curva parametrizada
,
, é calculada pela fórmula
Uma integral de linha de uma 1-forma
O que isso significa, em palavras: substituir
por suas expressões em
, calcular as derivadas
, formar a combinação
e integrar em
no intervalo dado. Vou aplicar exatamente isso.
Passo 3
Calcular as derivadas das coordenadas em função de
. A partir de
:
Estas são as taxas de variação das coordenadas ao longo da curva; serão multiplicadas pelos valores de
avaliados na curva.
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva, ou seja em
.
Primeiro, lembrar as definições:
Agora substituir
,
,
.
Calcular passo a passo:
Para
:
Desenvolvendo somas e produtos:
Para
:
Para
:
Passo 5
Formar a função integranda usando a fórmula da integral de linha:
Substituindo os valores já calculados e
:
Agora simplificar passo a passo:
Somando termos constantes e termos em
separadamente:
constantes: ,
coeficientes de :
.
Logo
constantes:
coeficientes de
Logo
Passo 6
Integrar a função obtida no intervalo
:
Calcular a integral:
Somando os dois resultados:
Resposta
52