Se
é o caminho
, \left.\operatorname{sen}^{2} t\right)), calcular a integral de linha
Passo 1
O enunciado dá o caminho
definido por
com
.
Pede-se calcular a integral de linha
Pede-se calcular a integral de linha
Informações relevantes que temos:
- A parametrização do caminho:
e . - O intervalo de parametrização:
. - A integranda na forma
, ou seja, é uma função de multiplicada por .
Passo 2
Regra de parametrização para integrais do tipo
: se
é dada por
com
, então
Explicando isso de forma simples: ao parametrizar, a diferencial
vira
. Aqui
. Vou aplicar essa fórmula com
e
.
Passo 3
Calcular
e substituir:
Substituindo
,
e
na fórmula:
Portanto a integral passa a ser a integral real usual
Posso separar em duas integrais (linearidade da integral):
Passo 4
Calcular a primeira integral, que é direta:
Aqui usei que a primitiva de
é
.
Passo 5
Agora calcular
. Para isso uso redução de potência: primeiro
Elevando ao quadrado,
Em seguida aplico a redução para
:
Substituindo:
Passo 6
Agora integro termo a termo em
:
As primitivas são:
Portanto a primitiva combinada é
Avaliando de
a
(note que
),
Passo 7
Somando as duas partes:
Somando as frações constantes
:
Logo o valor final da integral é