Se {\boldsymbol{\lambda}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2} é o caminho {\boldsymbol{\lambda}(t)=\left(t\right, \left.\operatorname{sen}^{2} t\right)), calcular a integral de linha
\int_{\boldsymbol{\lambda}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado dá o caminho \boldsymbol{\lambda}:[0,1]\to\mathbb{R}^2 definido por
\boldsymbol{\lambda}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(t,\sin^2 t\bigr),
com t\in[0,1].
Pede-se calcular a integral de linha
\int_{\boldsymbol{\lambda}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • A parametrização do caminho: x(t)=t e y(t)=\sin^2 t.
  • O intervalo de parametrização: t\in[0,1].
  • A integranda na forma (x^2+y^2)\,dx, ou seja, é uma função de (x,y) multiplicada por dx.

Passo 2

Regra de parametrização para integrais do tipo \displaystyle\int_{\lambda} P(x,y)\,dx: se \lambda é dada por \bigl(x(t),y(t)\bigr) com t\in[a,b], então
\int_{\lambda} P(x,y)\,dx = \int_{a}^{b} P\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t)\,dt.
Explicando isso de forma simples: ao parametrizar, a diferencial dx vira dx = x'(t)\,dt. Aqui P(x,y)=x^2+y^2. Vou aplicar essa fórmula com a=0 e b=1.

Passo 3

Calcular x'(t) e substituir:
x(t)=t \quad\Rightarrow\quad x'(t)=1.
Substituindo x(t), y(t) e x'(t) na fórmula:
\int_{\boldsymbol{\lambda}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}\bigl(x(t)^2+y(t)^2\bigr)\,x'(t)\,dt = \int_{0}^{1}\bigl(t^{2}+\sin^{4}t\bigr)\cdot 1\,dt.
Portanto a integral passa a ser a integral real usual
\int_{0}^{1}\bigl(t^{2}+\sin^{4}t\bigr)\,dt.
Posso separar em duas integrais (linearidade da integral):
\int_{0}^{1}t^{2}\,dt \;+\; \int_{0}^{1}\sin^{4}t\,dt.

Passo 4

Calcular a primeira integral, que é direta:
\int_{0}^{1} t^{2}\,dt = \left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Aqui usei que a primitiva de t^{2} é t^{3}/3.

Passo 5

Agora calcular \displaystyle\int_{0}^{1}\sin^{4}t\,dt. Para isso uso redução de potência: primeiro
\sin^{2}t = \frac{1-\cos(2t)}{2}.
Elevando ao quadrado,
\sin^{4}t = \biggl(\frac{1-\cos(2t)}{2}\biggr)^{2} = \frac{1}{4}\bigl(1 - 2\cos(2t) + \cos^{2}(2t)\bigr).
Em seguida aplico a redução para \cos^{2}(2t):
\cos^{2}(2t)=\frac{1+\cos(4t)}{2}.
Substituindo:
\sin^{4}t = \frac{1}{4}\Bigl(1 - 2\cos(2t) + \frac{1+\cos(4t)}{2}\Bigr) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2t) + \frac{1}{8}\cos(4t).

Passo 6

Agora integro termo a termo em t:
\int_{0}^{1}\sin^{4}t\,dt = \int_{0}^{1}\Bigl(\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2t) + \frac{1}{8}\cos(4t)\Bigr)\,dt.
As primitivas são:
\int \frac{3}{8}\,dt = \frac{3}{8}t,\quad \int -\frac{1}{2}\cos(2t)\,dt = -\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2t)}{2} = -\frac{1}{4}\sin(2t),
\int \frac{1}{8}\cos(4t)\,dt = \frac{1}{8}\cdot\frac{\sin(4t)}{4} = \frac{1}{32}\sin(4t).
Portanto a primitiva combinada é
\frac{3}{8}t - \frac{1}{4}\sin(2t) + \frac{1}{32}\sin(4t).
Avaliando de 0 a 1 (note que \sin 0=0),
\int_{0}^{1}\sin^{4}t\,dt = \frac{3}{8}\cdot 1 - \frac{1}{4}\sin(2) + \frac{1}{32}\sin(4).

Passo 7

Somando as duas partes:
\int_{0}^{1} t^{2}\,dt + \int_{0}^{1}\sin^{4}t\,dt = \frac{1}{3} + \Bigl(\frac{3}{8} - \frac{1}{4}\sin(2) + \frac{1}{32}\sin(4)\Bigr).
Somando as frações constantes \dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{8}:
\frac{1}{3}+\frac{3}{8} = \frac{8}{24}+\frac{9}{24}=\frac{17}{24}.
Logo o valor final da integral é
\frac{17}{24} - \frac{1}{4}\sin(2) + \frac{1}{32}\sin(4).

Resposta

\dfrac{17}{24} - \dfrac{1}{4}\sin(2) + \dfrac{1}{32}\sin(4)

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