Seja {\boldsymbol{\lambda}:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2} o caminho dado por {\boldsymbol{\lambda}(t)=(\cos t, sen t). Calcular o valor da integral de linha
\int_{\boldsymbol{\lambda}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}-y^{2}\right) d y

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O caminho \boldsymbol{\lambda}:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2 definido por \boldsymbol{\lambda}(t)=(\cos t,\sin t) para t\in[0,2\pi].
  • A integral de linha a calcular é
\int_{\boldsymbol{\lambda}}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx+\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dy.
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral ao longo do caminho \boldsymbol{\lambda}.

Passo 2

Escolha do método: como o próprio enunciado fornece uma parametrização do caminho, o caminho já está pronto para substituição direta na integral de linha. Esse é o método mais direto aqui (alternativa seria usar o Teorema de Green, que também daria o mesmo resultado). Vou então parametrizar tudo em função de t.
Escrevendo a parametrização:
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Agora calculo as diferenciais dx e dy em termos de dt:
dx = x'(t)\,dt = (-\sin t)\,dt, \qquad dy = y'(t)\,dt = (\cos t)\,dt.

Passo 3

Avalio as funções x^{2}+y^{2} e x^{2}-y^{2} ao longo da parametrização (isto é, em função de t):
Primeiro,
x^{2}+y^{2} = (\cos t)^{2}+(\sin t)^{2} = 1,
porque é a identidade trigonométrica básica.
Segundo,
x^{2}-y^{2} = (\cos t)^{2}-(\sin t)^{2} = \cos(2t),
usando a identidade de ângulo duplo \cos(2t)=\cos^{2}t-\sin^{2}t.

Passo 4

Substituo tudo na expressão da integral de linha. A integral torna-se uma integral em t:
\int_{\boldsymbol{\lambda}}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx+\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dy = \int_{0}^{2\pi} \bigl(1\cdot dx + \cos(2t)\cdot dy\bigr).
Substituindo dx e dy:
= \int_{0}^{2\pi} \bigl(1\cdot(-\sin t)\,dt + \cos(2t)\cdot(\cos t)\,dt\bigr).
Ou seja,
\int_{0}^{2\pi}\bigl(-\sin t + \cos(2t)\cos t\bigr)\,dt.

Passo 5

Vou simplificar a expressão \cos(2t)\cos t. Usando \cos(2t)=2\cos^{2}t-1,
\cos(2t)\cos t = (2\cos^{2}t-1)\cos t = 2\cos^{3}t - \cos t.
Portanto o integrando fica
-\sin t + 2\cos^{3}t - \cos t.

Passo 6

É conveniente escrever \cos^{3}t em somas de cossenos de múltiplos para facilitar a integração. Usa-se a identidade
\cos^{3}t = \frac{3\cos t + \cos(3t)}{4}.
Multiplicando por 2:
2\cos^{3}t = \frac{3\cos t + \cos(3t)}{2}.
Substituo em 2\cos^{3}t - \cos t:
2\cos^{3}t - \cos t = \frac{3\cos t + \cos(3t)}{2} - \cos t = \frac{3\cos t - 2\cos t + \cos(3t)}{2} = \frac{\cos t + \cos(3t)}{2}.
Então o integrando total é
-\sin t + \frac{\cos t + \cos(3t)}{2}.

Passo 7

Agora integro termo a termo de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}\left(-\sin t + \frac{\cos t + \cos(3t)}{2}\right)\,dt = -\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(3t)\,dt.
Cada uma dessas integrais é zero em 0 a 2\pi, porque são integrais de funções seno/cosseno com período inteiro sobre um período completo:
\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt = 0,\qquad \int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt = 0,\qquad \int_{0}^{2\pi}\cos(3t)\,dt = 0.
Portanto a integral total é 0.

Passo 8

Resumo final e motivação extra (curtinha): parametizando aproveitei que \boldsymbol{\lambda} é a circunferência unitária, o que simplificou muito ( x^{2}+y^{2}=1). Como alternativa, poderia-se usar o Teorema de Green: \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y = 2x-2y, cuja integral dupla sobre o disco unitário também dá zero por simetria. Ambas abordagens concordam.

Resposta

0

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