Seja
o caminho dado por
, sen
. Calcular o valor da integral de linha
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O caminho
definido por para . - A integral de linha a calcular é
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral ao longo do caminho
.
Passo 2
Escolha do método: como o próprio enunciado fornece uma parametrização do caminho, o caminho já está pronto para substituição direta na integral de linha. Esse é o método mais direto aqui (alternativa seria usar o Teorema de Green, que também daria o mesmo resultado). Vou então parametrizar tudo em função de
.
Escrevendo a parametrização:
Agora calculo as diferenciais
e
em termos de
:
Passo 3
Avalio as funções
e
ao longo da parametrização (isto é, em função de
):
Primeiro,
porque é a identidade trigonométrica básica.
Segundo,
usando a identidade de ângulo duplo
.
Passo 4
Substituo tudo na expressão da integral de linha. A integral torna-se uma integral em
:
Substituindo
e
:
Ou seja,
Passo 5
Vou simplificar a expressão
. Usando
,
Portanto o integrando fica
Passo 6
É conveniente escrever
em somas de cossenos de múltiplos para facilitar a integração. Usa-se a identidade
Multiplicando por
:
Substituo em
:
Então o integrando total é
Passo 7
Agora integro termo a termo de
a
:
Cada uma dessas integrais é zero em
a
, porque são integrais de funções seno/cosseno com período inteiro sobre um período completo:
Portanto a integral total é
.
Passo 8
Resumo final e motivação extra (curtinha): parametizando aproveitei que
é a circunferência unitária, o que simplificou muito (
). Como alternativa, poderia-se usar o Teorema de Green:
, cuja integral dupla sobre o disco unitário também dá zero por simetria. Ambas abordagens concordam.
Resposta
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