Se boldsymbol{u}=(3,-1,-2) e boldsymbol{v}=(2,4-1) e boldsymbol{w}= (-1, 0, 1), determine:
\boldsymbol{u} \cdot(\boldsymbol{v} \times \mathbf{w})

Passo 1

O enunciado pede o produto misto \boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{w}), que é um escalar. O conteúdo envolve cálculo de produto vetorial seguido de produto escalar. Vamos usar a fórmula do determinante para \boldsymbol{v}\times \boldsymbol{w} e depois o escalar entre \boldsymbol{u} e esse resultado.

Passo 2

Primeiro, identificamos corretamente os vetores: \boldsymbol{u}=(3,-1,-2), \boldsymbol{v}=(2,4,-1)
e \boldsymbol{w}=(-1,0,1).
Agora calculamos
\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{w} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\\\\ 2 & 4 & -1\\\\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}
Usando a regra de Sarrus ou cofactores, temos
\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{w} =\bigl(4\cdot1 -(-1)\cdot0,\; -\,\bigl(2\cdot1 -(-1)\cdot(-1)\bigr),\; 2\cdot0 -4\cdot(-1)\bigr).
Isso simplifica para
\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{w}=(4,\,-(2-1),\,0+4)=(4,-1,4).

Passo 3

Em seguida, fazemos o produto escalar de \boldsymbol{u} com \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}:
\boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{w}) =(3,-1,-2)\cdot(4,-1,4).
Pelo produto escalar,
3\cdot4 + (-1)\cdot(-1) + (-2)\cdot4 = 12 + 1 -8 = 5.

Resposta

5

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