Uma bolha de ar com volume de 70 \mathrm{~cm}^{3} está no fundo de um lago a 40 m de profundidade, onde a temperatura é 4^{\circ} \mathrm{C}. A bolha sobe até a superfície,que está na temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Considere que a temperatura da bolha de ar é a mesma que a da água ao seu redor. Qual o volume final da bolha? Fato que ocorre exatamente quando a bolha atinge a superficie.
Dados: P_{O}=1,013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} / \rho A=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} / \mathrm{g}=9.81 c

Passo 1

O enunciado pede o volume final da bolha quando ela chega à superfície. Dados e informações fornecidas no enunciado:
  • Volume inicial da bolha: V_1 = 70\\ \mathrm{cm}^3.
  • Profundidade inicial da bolha: h = 40\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura no fundo (quando a bolha está a h): T_1 = 4^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura na superfície: T_2 = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão atmosférica ao nível da superfície: P_0 = 1{,}013\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Densidade da água: \rho = 10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Aceleração da gravidade: g = 9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
O que é pedido: calcular o volume final V_2 da bolha exatamente ao atingir a superfície.

Passo 2

Qual princípio físico usar e por quê (aula rápida e prática).
  • A bolha contém uma quantidade fixa de ar (mesma quantidade de moléculas) enquanto sobe. Para um gás ideal com número de mols constante vale a lei geral dos gases combinada:
\frac{P_1 V_1}{T_1}=\frac{P_2 V_2}{T_2},
onde:
  • P é a pressão absoluta do gás (em Pa),
  • V é o volume (em m^3),
  • T é a temperatura absoluta (em K).
  • Da equação acima isolamos V_2:
V_2 = V_1\cdot\frac{P_1}{P_2}\cdot\frac{T_2}{T_1}.
Explicação simples: quando o gás muda de pressão e temperatura, o produto P V/T permanece igual se a quantidade de gás não muda. Aqui o gás troca calor com a água (o enunciado diz que a temperatura da bolha acompanha a da água), então usamos a forma com temperaturas absolutas.

Passo 3

Calcular as pressões absoluta no fundo ( P_1) e na superfície ( P_2).
  • A pressão na superfície é a pressão atmosférica:
P_2 = P_0 = 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • A pressão no fundo é a soma da pressão atmosférica com a pressão hidrostática:
P_1 = P_0 + \rho g h.
Agora calculamos numericamente \rho g h:
\rho g h = 10^{3}\cdot 9{,}81\cdot 40 = 392400\\ \mathrm{Pa}.
Portanto
P_1 = 101300 + 392400 = 493700\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Unidades e conversões necessárias (aula prática sobre unidades).
  • Converter volume inicial para SI (metros cúbicos):
V_1 = 70\\ \mathrm{cm}^3 = 70\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3 = 7{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
  • Converter temperaturas Celsius para Kelvin (essencial na lei dos gases):
T_1 = 4^\circ\mathrm{C} = 4 + 273{,}15 = 277{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 20^\circ\mathrm{C} = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do passo 2 substituindo P_1,P_2,T_1,T_2,V_1.
V_2 = V_1\cdot\frac{P_1}{P_2}\cdot\frac{T_2}{T_1}.
Substituindo os valores numéricos (mantendo unidades SI):
V_2 = 7{,}0\times 10^{-5}\cdot\frac{493700}{101300}\cdot\frac{293{,}15}{277{,}15}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo (faça assim numa prova sem calculadora: calcular cada razão separadamente e multiplicar).
  • Razão de pressões:
\frac{P_1}{P_2}=\frac{493700}{101300}\approx 4{,}8736.
  • Razão de temperaturas:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{293{,}15}{277{,}15}\approx 1{,}0577.
  • Produto das razões:
\frac{P_1}{P_2}\cdot\frac{T_2}{T_1}\approx 4{,}8736\times 1{,}0577 \approx 5{,}1549.
  • Agora o volume:
V_2 \approx 7{,}0\times 10^{-5}\times 5{,}1549 = 3{,}6084\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 7

Converter o resultado para \mathrm{cm}^3 (forma que o enunciado usou).
  • 1\\ \mathrm{m}^3 = 10^{6}\\ \mathrm{cm}^3, então
V_2 = 3{,}6084\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^3 = 3{,}6084\times 10^{-4}\times 10^{6}\\ \mathrm{cm}^3 = 360{,}84\\ \mathrm{cm}^3.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos) obtemos
V_2 \approx 361\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 8

Resumo físico: a bolha cresce ao subir porque a pressão externa diminui e a temperatura aumenta; usamos a lei dos gases com número de mols constante. Mandou bem ao trazer todos os dados — é exatamente esse procedimento que o professor espera numa prova. Força aí!

Resposta

V_2 \approx 361\\ \mathrm{cm}^3

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