Um feixe de moléculas de hidrogênio (H2) está dirigido contra uma parede, segundo um ângulo de 55^{\circ} com a normal à parede. Cada molécula no feixe possui uma velocidade escalar de 7 \mathrm{~km} / \mathrm{s} e uma massa de 3,3 \times 10{ }^{24} g. Ofeixe bate na parede sobre uma área de 4 c \mathrm{m}^{2}, à uma taxa média de 10^{23} moléculas por segundo. Qual a pressão do o feixe sobre a parede?

Passo 1

O que o enunciado dá (valores e o que pede):
  • Velocidade escalar de cada molécula: v = 7\\ \mathrm{km/s}. (Vou converter para SI depois.)
  • Massa de cada molécula: m = 3{,}3\times10^{-24}\\ \mathrm{g}. (Vou converter para SI depois.)
  • Taxa média de colisões com a parede: \dot{N}=10^{23}\\ \text{moléculas/s}é.
  • Área da região da parede atingida: A = 4\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Ângulo entre a velocidade do feixe e a normal à parede: \theta = 55^\circ. (Peguei esse ângulo do enunciado/imagem.)
  • O que se pede: a pressão do feixe sobre a parede, isto é a pressão média exercida sobre a área A.

Passo 2

Ideia física e fórmulas que vamos usar (aulas curtinhas):
  • Pressão é força por unidade de área:
P=\frac{F}{A},
onde P é a pressão média, F é a força média sobre a parede e A é a área.
  • Força média exercida por colisões é a taxa de variação do momento (impulso por unidade de tempo). Se cada colisão muda o momento normal da molécula em \Delta p e ocorrem \dot{N} colisões por segundo, então
F=\dot{N}\,\Delta p.
  • Precisamos calcular \Delta p, a mudança do componente do momento perpendicular (normal) à parede por cada molécula ao colidir. Explicando componente normal: a velocidade tem um componente perpendicular à superfície igual a v\cos\theta. Se a colisão é perfeitamente elástica e a componente tangencial não contribui à pressão normal, a componente normal do momento inverte de sinal mantendo magnitude, logo a variação é o dobro da magnitude inicial do momento normal.

Passo 3

Expressar a variação do momento por molécula:
  • Momento inicial normal (direção do normal apontando para a parede): p_{i,n} = m\,v\cos\theta.
  • Após reflexão perfeitamente elástica, momento final normal é p_{f,n}=-m\,v\cos\theta (sinal invertido).
  • Portanto a variação do momento (final menos inicial) é
\Delta p = p_{f,n}-p_{i,n} = -m v\cos\theta - m v\cos\theta = -2 m v\cos\theta.
Para força/pressão usamos a magnitude da variação, então
|\Delta p| = 2 m v\cos\theta.

Passo 4

Converter todas as unidades para o SI (explico passo a passo):
  • Velocidade: v=7\\ \mathrm{km/s}=7{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}. Escrevo em TeX:
v = 7{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa: dado em gramas m=3{,}3\times10^{-24}\\ \mathrm{g}. Como 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg},
m = 3{,}3\times10^{-24}\\ \mathrm{g} = 3{,}3\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Área: A=4\\ \mathrm{cm^{2}}. Como 1\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},
A=4\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Taxa de colisões já está em unidade compatível: \dot{N}=10^{23}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Calcular a variação de momento por molécula numericamente:
|\Delta p| = 2 m v \cos\theta.
Substituindo m=3{,}3\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}, v=7{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{m/s} e \theta=55^\circ:
\cos55^\circ \approx 0{,}573576\ldots
m v = 3{,}3\times10^{-27}\times7{,}0\times10^{3} = 2{,}31\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
m v \cos55^\circ \approx 2{,}31\times10^{-23}\times0{,}573576 \approx 1{,}325\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
|\Delta p| = 2\times1{,}325\times10^{-23} \approx 2{,}65\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 6

Calcular a força média usando a taxa de colisões:
F=\dot{N}\,|\Delta p| = 10^{23}\times 2{,}65\times10^{-23}\\ \mathrm{N} \approx 2{,}65\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Calcular a pressão:
P=\frac{F}{A}=\frac{2{,}65\\ \mathrm{N}}{4\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}} = \frac{2{,}65}{4\times10^{-4}}\\ \mathrm{Pa}.
P \approx 6{,}625\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}\approx 6{,}63\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais amigáveis, isto é aproximadamente 6{,}6\\ \mathrm{kPa}.

Passo 8

Pequeno comentário de revisão (ânimo): resumindo, usei a ideia simples de que pressão vem da taxa de troca de momento normal com a parede. Converti todas as unidades para SI, calculei a mudança de momento por molécula (duas vezes o componente normal) e multipliquei pela taxa de colisões e dividi pela área. Boa! Você consegue aplicar esse método em problemas semelhantes.

Resposta

6{,}63\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}

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