Uma viatura de fiscalização de trânsito move-se com velocidade constante de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em linha reta, aproximando-se da parede vertical de um túnel. A viatura possui um emissor acústico que propaga uma onda sonora senoidal com frequência constante \mathrm{f}_{\mathrm{s}}=600 \mathrm{~Hz} em direção ao túnel. O ar está parado e a velocidade do som no local é \mathrm{v}=340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerando que a parede do túnel reflete perfeitamente o som recebido, determine:
a) A frequência \left(\mathrm{f}_{\mathrm{A}}\right) da onda sonora que atinge a parede do túnel.
b) A frequência (fo) do eco (som refletido) que o motorista da viatura escuta dentro do veículo.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade da viatura (fonte) relativa ao ar: \,v_s=20\\ \mathrm{m/s}\, (aproximando-se da parede).
    • Frequência emitida pela fonte: \,f_s=600\\ \mathrm{Hz}\,.
    • Velocidade do som no ar: \,v=340\\ \mathrm{m/s}\,.
    • A parede do túnel reflete perfeitamente o som (reflexão especular; parede fixa).
  • Perguntas:
    a) Qual é a frequência \,f_A\, da onda sonora que atinge a parede do túnel?
    b) Qual é a frequência \,f_o\, do eco que o motorista escuta dentro do veículo?

Passo 2

Entendendo e deduzindo a frequência que chega à parede ( f_A) — efeito Doppler para fonte em movimento (sem resolver ainda numericamente).
Explicação física e fórmulas:
  • Quando uma fonte sonora se move em direção a um observador estacionário no ar, cada ciclo sucessivo da onda é emitido de uma posição mais próxima do observador do que o ciclo anterior. Isso encurta o comprimento de onda na frente da fonte.
  • Comprimento de onda emitido diante da fonte móvel: se a fonte emite com frequência \,f_s\, e se desloca com velocidade \,v_s\, na mesma direção da propagação, o comprimento de onda efetivo é
\lambda'=\frac{v-v_s}{f_s}.
Aqui:
  • \lambda' é o comprimento de onda medido pelo observador à frente,
  • \,v\, é a velocidade do som no meio,
  • \,v_s\, é a velocidade da fonte (positiva no sentido de se aproximar do observador).
  • A frequência medida por um observador estacionário (a parede) é a velocidade da onda dividida por esse comprimento de onda:
f_A=\frac{v}{\lambda'}=\frac{v}{(v-v_s)/f_s}=f_s\cdot\frac{v}{v-v_s}.
Agora aplicando numericamente:
f_A = 600\cdot\frac{340}{340-20}.
Calcule passo a passo:
340-20=320,
\frac{340}{320}=\frac{34}{32}=\frac{17}{16}=1{,}0625,
f_A=600\cdot1{,}0625=600\cdot\left(1+\tfrac{1}{16}\right)=600+37{,}5=637{,}5\\ \mathrm{Hz}.
Conclusão deste passo: a frequência que atinge a parede é \,f_A=637{,}5\\ \mathrm{Hz}\,.

Passo 3

Como a parede reflete perfeitamente, tratar a reflexão no quadro do efeito Doppler.
Explicação didática:
  • A parede é fixa no referencial do ar; para a parede a onda incidente tem frequência \,f_A\,. A reflexão perfeita age como se a parede reemitisse (ou re-radiassse) uma onda com a mesma frequência que ela “ouvira”, ou seja, a onda refletida no meio tem frequência em relação ao ar igual a \,f_A\,. (Em termos de Doppler: a parede é, primeiro, um observador estacionário que detecta \,f_A do som incidente; depois, age como uma fonte estacionária que emite a mesma frequência \,f_A de volta.)
Portanto, a onda refletida que volta pelo túnel tem, no ar, frequência \,f_A=637{,}5\\ \mathrm{Hz}\, (no referencial do ar).

Passo 4

Determinar a frequência do eco que o motorista (observe que ele está na viatura, movendo-se) escuta: efeito Doppler para observador em movimento em relação à fonte (agora a “fonte” é a parede refletora).
Explicação e fórmula:
  • Quando um observador se move em direção a uma fonte estacionária que emite com frequência \,f_{\text{fonte}}\,, a frequência percebida pelo observador é aumentada segundo:
f_{\text{obs}}=f_{\text{fonte}}\cdot\frac{v+v_{\text{obs}}}{v},
onde \,v_{\text{obs}}\, é a velocidade do observador em direção à fonte (positiva se se aproxima).
  • Aqui a fonte da onda refletida tem frequência \,f_A\, e o observador (o motorista/viatura) aproxima-se da parede com velocidade \,v_s. Assim:
f_o=f_A\cdot\frac{v+v_s}{v}.
Podemos também juntar as duas etapas numa fórmula direta (fonte móvel → parede → observador móvel sendo o mesmo corpo) que dá:
f_o=f_s\cdot\frac{v+v_s}{v-v_s},
mas vamos calcular usando as etapas já feitas para maior clareza.
Cálculo numérico usando f_A=637{,}5\\ \mathrm{Hz}:
f_o=637{,}5\cdot\frac{340+20}{340}.
Calcule passo a passo:
340+20=360,
\frac{360}{340}=\frac{36}{34}=\frac{18}{17}\approx1{,}058823529,
f_o=637{,}5\cdot\frac{18}{17}.
Fazendo a multiplicação exata:
637{,}5\cdot\frac{18}{17}=600\cdot\frac{340}{320}\cdot\frac{360}{340}=600\cdot\frac{360}{320}=600\cdot\frac{36}{32}=600\cdot\frac{9}{8}=600\cdot1{,}125=675.
(ou diretamente 637{,}5\times1{,}058823529\approx675.)
Conclusão deste passo: o motorista escuta o eco com frequência \,f_o=675\\ \mathrm{Hz}\,.

Passo 5

Pequena verificação de consistência e interpretação intuitiva:
  • A frequência que atinge a parede ( 637{,}5\\ \mathrm{Hz}) é maior que a emitida ( 600\\ \mathrm{Hz}) porque a fonte se aproxima, comprimindo as frentes de onda.
  • O motorista ouve um eco ainda mais agudo ( 675\\ \mathrm{Hz}) porque ele também se aproxima da fonte da onda refletida, aumentando mais a frequência percebida.
  • Resultado final faz sentido físico: f_o>f_A>f_s.

Resposta

f_A=637{,}5\\ \mathrm{Hz}
f_o=675\\ \mathrm{Hz}

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