Uma bolinha de metal é jogada de uma altura
, sobre um tampo de mesa de granito, horizontal. Ela bate, sobe, volta a cair e bate de novo no tampo, várias vezes. Um microfone capta o som das batidas. Quando analisado o arquivo de som, o tempo entre as batidas mostra um decaimento exponencial:
onde
é o número da batida. Calcule o coeficiente de restituição da colisão entre a bolinha de metal e o tampo de granito.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bolinha de metal que é lançada de uma certa altura e bate várias vezes em um tampo de granito. O tempo entre essas batidas diminui de forma exponencial conforme o número de batidas aumenta. Nosso objetivo aqui é calcular o coeficiente de restituição dessa colisão, que basicamente nos diz o quanto a bolinha “volta” após bater na mesa.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento vertical e como o coeficiente de restituição afeta o tempo entre as batidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de restituição. Ele é representado pela letra e e é definido como a razão entre a velocidade da bolinha logo após a colisão e a velocidade antes da colisão:
Esse coeficiente nos diz o quão elástica é a colisão. Se e = 1, a colisão é perfeitamente elástica (sem perda de energia). Se e < 1, parte da energia é dissipada.
Passo 3
Agora, vamos conectar isso com o tempo entre as batidas. Cada vez que a bolinha bate na mesa, ela perde um pouco de energia e, portanto, não sobe tão alto quanto na batida anterior. A altura máxima que a bolinha atinge após a $ n $-ésima batida é dada por:
Isso acontece porque a energia potencial máxima é proporcional ao quadrado da velocidade.
Passo 4
O tempo entre duas batidas consecutivas está relacionado ao tempo que a bolinha leva para subir e descer de uma certa altura. Esse tempo é dado por:
Onde g é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $). Substituindo $ h_n $ da equação anterior:
Ou seja, o tempo entre as batidas diminui por um fator de e a cada batida.
Passo 5
Dessa forma, percebemos que o tempo entre a $ n $-ésima e a $ (n+1) $-ésima batida segue uma relação exponencial:
Comparando com a nossa expressão física $ t_n = e \cdot t_{n-1} $, podemos observar que:
Isso porque o fator de decaimento exponencial no problema matemático corresponde ao coeficiente de restituição na física.
Passo 6
Agora, para encontrar o valor de e, basta resolver a equação:
Isso parece estranho, mas na verdade estamos associando o coeficiente de restituição ao fator exponencial dado.
Passo 7
Vamos calcular o valor numérico:
Isso significa que a bolinha perde cerca de 10,6% da sua energia em cada batida.
Resposta
O coeficiente de restituição da colisão entre a bolinha de metal e o tampo de granito é aproximadamente 0,89.