Um foguete movimenta-se essencialmente pelo seu auto-empuxo. Ao expelir gases em alta velocidade (resultantes de combustão) para trás, por ação e reação o foguete é impulsionado para frente. Suponha que um foguete está no espaço (vácuo) e sem ação de forças externas. Determine:
sua velocidade em função da taxa de queima de combustível
e da velocidade de ejeção de gases (
), supondo que ambas são constantes;
sua velocidade em função da taxa de queima de combustível
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um foguete no espaço sem forças externas atuando sobre ele. A gente precisa encontrar a velocidade do foguete em função da taxa de queima de combustível, que é
, e da velocidade de ejeção dos gases,
. Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação da quantidade de movimento e aplicar a equação do foguete de Tsiolkovsky. Vamos precisar entender como a perda de massa do foguete afeta sua velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a quantidade de movimento (
) de um objeto é dada por
, onde
é a massa e
é a velocidade. No caso do foguete, ele está no vácuo, então não há forças externas. Isso significa que a quantidade de movimento total do sistema (foguete mais gases) permanece constante.
Passo 3
À medida que o foguete queima combustível, ele perde massa. A taxa de perda de massa é
, onde
é uma constante positiva. Os gases são ejetados com uma velocidade relativa
em relação ao foguete. Vamos considerar que tanto
quanto
são constantes.
Passo 4
Vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento. Em um intervalo de tempo
, a massa perdida pelo foguete é
. Essa massa é ejetada com a velocidade
. A variação da quantidade de movimento do foguete é igual à quantidade de movimento dos gases ejetados.
Passo 5
Matematicamente, temos:
Aqui,
é a variação da velocidade do foguete, e
é a quantidade de movimento dos gases.
Passo 6
Substituindo
na equação acima:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, rearranjamos a equação para separar as variáveis
e
:
Sabemos que a massa do foguete varia no tempo conforme:
Onde
é a massa inicial do foguete.
Passo 8
Substituindo
na equação de
:
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo para encontrar
.
Passo 9
Integrando:
A integração do lado esquerdo é simplesmente
, onde
é a velocidade inicial do foguete. No lado direito, fazemos a substituição
, então
, o que simplifica a integral.
Passo 10
Após a substituição, a integral fica:
Assumindo que a velocidade inicial
, temos:
Resposta
A velocidade do foguete em função do tempo é dada por: