Um foguete movimenta-se essencialmente pelo seu auto-empuxo. Ao expelir gases em alta velocidade (resultantes de combustão) para trás, por ação e reação o foguete é impulsionado para frente. Suponha que um foguete está no espaço (vácuo) e sem ação de forças externas. Determine:
sua velocidade em função da taxa de queima de combustível (d m / d t=-mu) e da velocidade de ejeção de gases ( ve), supondo que ambas são constantes;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um foguete no espaço sem forças externas atuando sobre ele. A gente precisa encontrar a velocidade do foguete em função da taxa de queima de combustível, que é d md t = -mu, e da velocidade de ejeção dos gases, ve. Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação da quantidade de movimento e aplicar a equação do foguete de Tsiolkovsky. Vamos precisar entender como a perda de massa do foguete afeta sua velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a quantidade de movimento ( p) de um objeto é dada por p = m cdot v, onde m é a massa e v é a velocidade. No caso do foguete, ele está no vácuo, então não há forças externas. Isso significa que a quantidade de movimento total do sistema (foguete mais gases) permanece constante.

Passo 3

À medida que o foguete queima combustível, ele perde massa. A taxa de perda de massa é d md t = -mu, onde mu é uma constante positiva. Os gases são ejetados com uma velocidade relativa ve em relação ao foguete. Vamos considerar que tanto mu quanto ve são constantes.

Passo 4

Vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento. Em um intervalo de tempo dt, a massa perdida pelo foguete é dm = -mu dt. Essa massa é ejetada com a velocidade ve. A variação da quantidade de movimento do foguete é igual à quantidade de movimento dos gases ejetados.

Passo 5

Matematicamente, temos:
m cdot dv = ve cdot dm
Aqui, dv é a variação da velocidade do foguete, e ve cdot dm é a quantidade de movimento dos gases.

Passo 6

Substituindo dm = -mu dt na equação acima:
m cdot dv = ve cdot (-mu dt)
Dividindo ambos os lados por dt:
m cdot dvdt = -mu cdot ve

Passo 7

Agora, rearranjamos a equação para separar as variáveis m e v:
dvdt = -mu cdot vem
Sabemos que a massa do foguete varia no tempo conforme:
m(t) = m0 - mu t
Onde m0 é a massa inicial do foguete.

Passo 8

Substituindo m(t) na equação de dvdt:
dvdt = -mu cdot vem0 - mu t
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo para encontrar v(t).

Passo 9

Integrando:
integral dv = -integral mu cdot vem0 - mu t dt
A integração do lado esquerdo é simplesmente v(t) - v0, onde v0 é a velocidade inicial do foguete. No lado direito, fazemos a substituição u = m0 - mu t, então du = -mu dt, o que simplifica a integral.

Passo 10

Após a substituição, a integral fica:
v(t) - v0 = ve cdot ln(m0m0 - mu t)
Assumindo que a velocidade inicial v0 = 0, temos:
v(t) = ve cdot ln(m0m0 - mu t)

Resposta

A velocidade do foguete em função do tempo é dada por:
v(t) = ve cdot ln(m0m0 - mu t)

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