Uma bolinha move-se no plano e a sua posição ( r em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial r(t)=(6 t,-2 t^2+4 t). Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=1 s e t=2 s.
c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima ( t do y max ) para t>0.
d) A altura máxima alcançada ( y max ).
e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer y=0 ) e em que posição isso acontece.

Passo 1

O enunciado dá a posição da bolinha no plano por
r(t) = l(6t,,-2t^2+4tr).
Precisamos de:
a) a velocidade v(t) e a aceleração a(t) usando derivadas de componentes;
b) a velocidade média l(r(2)-r(1)r)/1 e a aceleração média l(v(2)-v(1)r)/1;
c) o instante de altura máxima obtido zerando dy/dt;
d) o valor dessa altura ymax=y(tmax);
e) o instante t>0 em que y(t)=0 e a posição r(t) correspondente.

Passo 2

Para achar v(t) e a(t) derivamos componente a componente:
v(t)=ddtl(6t,,-2t^2+4tr) =(6,,-4t+4),
a(t)=ddt(6,,-4t+4) =(0,,-4)

Passo 3

Calculamos r(1) e r(2):
r(1)=(6cdot1,,-2cdot1^2+4cdot1)=(6,2),
r(2)=(6cdot2,,-2cdot2^2+4cdot2)=(12,0)
A velocidade média entre t=1 e t=2 é
vrm med =r(2)-r(1)2-1 =(12-6,;0-2) =(6,,-2)

Passo 4

Calculamos v(1) e v(2):
v(1)=(6,,-4cdot1+4)=(6,0),
v(2)=(6,,-4cdot2+4)=(6,-4)
A aceleração média é
arm med =v(2)-v(1)2-1 =(6-6,,-4-0) =(0,,-4)

Passo 5

Para achar o instante de altura máxima, olhamos a componente y(t)=-2t^2+4t.
Derivando e igualando a zero:
dydt=-4t+4=0 Longrightarrow tmax=1 s

Passo 6

A altura máxima é
ymax=y(1)=-2cdot1^2+4cdot1=2 m

Passo 7

Para achar quando a bolinha bate no solo, resolvemos
-2t^2+4t=0 ;Longrightarrow; -2t(t-2)=0 ;Longrightarrow; t=0 ou t=2
Ignoramos t=0 e usamos t=2,s. A posição então é
r(2)=(12,0)

Resposta

a) v(t)=(6,,-4t+4) e a(t)=(0,,-4).
b) vrm med=(6,,-2) e arm med=(0,,-4).
c) tmax=1,s.
d) ymax=2,m.
e) A bolinha atinge o solo em t=2,s, na posição r(2)=(12,0).

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