Uma bolinha de naftalina perde sua massa numa taxa que é proporcional à sua área. Se depois de um mês ela perdeu a metade de sua massa, depois de quanto tempo desaparecerá?

Passo 1

O enunciado diz: uma bolinha de naftalina perde massa a uma taxa proporcional à sua área. Depois de um mês ela perdeu a metade da massa. Pergunta: depois de quanto tempo ela desaparecerá (isto é, a massa chegará a zero)?
Informações e suposições que vamos usar (tudo dado ou natural no contexto):
  • A bolinha é esférica (suponho isso porque é uma “bolinha”).
  • A densidade da naftalina é constante durante o processo; assim a massa é proporcional ao volume.
  • A taxa de perda de massa é proporcional à área da superfície.
  • Vamos medir o tempo em meses; chamaremos de t=0 o instante inicial e de m_0 a massa inicial.

Passo 2

Relacionar massa, volume, raio e área da esfera (aqui eu te ensino as fórmulas básicas das esferas).
Fórmulas conhecidas para uma esfera de raio r:
\text{Volume } V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3},
\text{Área } A = 4\pi r^{2}.Á
Se a densidade (massa por volume) é \rho constante, a massa m é
m = \rho V = \rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}.
Dessa expressão podemos isolar r em função de m:
r = \left(\frac{3m}{4\pi \rho}\right)^{1/3}.
Substituindo em A obtemos a área em função da massa:
A = 4\pi r^{2} = 4\pi \left(\frac{3m}{4\pi \rho}\right)^{2/3}.
Observe que a área se comporta como uma constante multiplicando m^{2/3}. Vamos simplificar escrevendo a proporcionalidade e introduzindo uma constante positiva.
Como a taxa de perda de massa é proporcional à área, existe uma constante k>0 tal que
\frac{dm}{dt} = -k\,A.
Substituindo a expressão de A em termos de m obtemos uma equação diferencial do tipo potência:
\frac{dm}{dt} = -C\,m^{2/3},
onde \displaystyle C = k\cdot 4\pi\left(\frac{3}{4\pi \rho}\right)^{2/3} é uma constante positiva que agrupa k e \rho. Não precisamos conhecer C numericamente; vamos determiná-lo a partir da informação “metade da massa em 1 mês”.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (a técnica é separar m e t em lados diferentes e integrar).
Partimos de
\frac{dm}{dt} = -C\,m^{2/3}.
Separamos as variáveis:
m^{-2/3}\,dm = -C\,dt.
Agora integramos ambos os lados. A integral de m^{-2/3} em relação a m é simples: use a regra \int m^{\alpha}dm = \frac{m^{\alpha+1}}{\alpha+1} para \alpha\neq -1. Aqui \alpha=-\tfrac{2}{3}, então \alpha+1=\tfrac{1}{3}.
\int m^{-2/3}\,dm = 3\,m^{1/3} + \text{constante}.
Integrando o lado do tempo obtemos
3\,m^{1/3} = -C\,t + D,
onde D é constante de integração. Em t=0 temos m=m_0, então
3\,m_0^{1/3} = D.
Logo a solução explícita para m(t) em função do tempo é
3\,m(t)^{1/3} = 3\,m_0^{1/3} - C\,t,
ou seja
m(t) = \left(m_0^{1/3} - \frac{C}{3}t\right)^{3}.
Repare que essa expressão faz sentido até o tempo em que o parêntese chegar a zero; após isso a massa seria negativa, o que é fisicamente impossível — significando que a massa chega a zero em tempo finito.

Passo 4

Usar a condição “depois de 1 mês a massa é metade” para encontrar C em termos de m_0.
A condição é m(1)=\tfrac{m_0}{2}. Usando a solução:
\left(m_0^{1/3} - \frac{C}{3}\cdot 1\right)^{3} = \frac{m_0}{2}.
Tirando raiz cúbica em ambos os lados:
m_0^{1/3} - \frac{C}{3} = \left(\frac{m_0}{2}\right)^{1/3} = m_0^{1/3}\cdot 2^{-1/3}.
Isolando C:
\frac{C}{3} = m_0^{1/3} - m_0^{1/3}\cdot 2^{-1/3} = m_0^{1/3}\left(1-2^{-1/3}\right).
Portanto
C = 3\,m_0^{1/3}\left(1-2^{-1/3}\right).

Passo 5

Calcular o tempo T em que a massa chega a zero (desaparece). Isso ocorre quando m(T)=0, ou seja quando o parêntese da solução for zero:
m_0^{1/3} - \frac{C}{3}T = 0.
Isolando T:
T = \frac{3\,m_0^{1/3}}{C}.
Substituindo a expressão de C encontrada no Passo 4:
T = \frac{3\,m_0^{1/3}}{3\,m_0^{1/3}\left(1-2^{-1/3}\right)}.
Cancelando 3\,m_0^{1/3} (note que o tempo final não depende da massa inicial m_0; isso é uma consequência elegante do problema),
T = \frac{1}{1-2^{-1/3}}.

Passo 6

Interpretar e calcular numericamente. A expressão obtida dá o tempo em meses porque usamos 1 mês como a unidade ao aplicar a condição m(1)=m_0/2.
Avaliação numérica:
2^{-1/3} \approx 0,793700526,
logo
1-2^{-1/3} \approx 0,206299474,
e
T \approx \frac{1}{0,206299474} \approx 4,85\\ \text{meses}.
Força aí — resultado intuitivo: se a bola perde metade da massa em 1 mês, por causa da dependência área/volume ela não leva infinitamente mais para sumir; leva um tempo finito cerca de 4,85 meses para desaparecer totalmente.

Resposta

\displaystyle T=\frac{1}{1-2^{-1/3}} meses
\approx 4,85 meses

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