Uma bolinha de naftalina perde sua massa numa taxa que é proporcional à sua área. Se depois de um mês ela perdeu a metade de sua massa, depois de quanto tempo desaparecerá?
Passo 1
O enunciado diz: uma bolinha de naftalina perde massa a uma taxa proporcional à sua área. Depois de um mês ela perdeu a metade da massa. Pergunta: depois de quanto tempo ela desaparecerá (isto é, a massa chegará a zero)?
Informações e suposições que vamos usar (tudo dado ou natural no contexto):
- A bolinha é esférica (suponho isso porque é uma “bolinha”).
- A densidade da naftalina é constante durante o processo; assim a massa é proporcional ao volume.
- A taxa de perda de massa é proporcional à área da superfície.
- Vamos medir o tempo em meses; chamaremos de
o instante inicial e de a massa inicial.
Passo 2
Relacionar massa, volume, raio e área da esfera (aqui eu te ensino as fórmulas básicas das esferas).
Fórmulas conhecidas para uma esfera de raio
:
Se a densidade (massa por volume) é
constante, a massa
é
Dessa expressão podemos isolar
em função de
:
Substituindo em
obtemos a área em função da massa:
Observe que a área se comporta como uma constante multiplicando
. Vamos simplificar escrevendo a proporcionalidade e introduzindo uma constante positiva.
Como a taxa de perda de massa é proporcional à área, existe uma constante
tal que
Substituindo a expressão de
em termos de
obtemos uma equação diferencial do tipo potência:
onde
é uma constante positiva que agrupa
e
. Não precisamos conhecer
numericamente; vamos determiná-lo a partir da informação “metade da massa em 1 mês”.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (a técnica é separar
e
em lados diferentes e integrar).
Partimos de
Separamos as variáveis:
Agora integramos ambos os lados. A integral de
em relação a
é simples: use a regra
para
. Aqui
, então
.
Integrando o lado do tempo obtemos
onde
é constante de integração. Em
temos
, então
Logo a solução explícita para
em função do tempo é
ou seja
Repare que essa expressão faz sentido até o tempo em que o parêntese chegar a zero; após isso a massa seria negativa, o que é fisicamente impossível — significando que a massa chega a zero em tempo finito.
Passo 4
Usar a condição “depois de 1 mês a massa é metade” para encontrar
em termos de
.
A condição é
. Usando a solução:
Tirando raiz cúbica em ambos os lados:
Isolando
:
Portanto
Passo 5
Calcular o tempo
em que a massa chega a zero (desaparece). Isso ocorre quando
, ou seja quando o parêntese da solução for zero:
Isolando
:
Substituindo a expressão de
encontrada no Passo 4:
Cancelando
(note que o tempo final não depende da massa inicial
; isso é uma consequência elegante do problema),
Passo 6
Interpretar e calcular numericamente. A expressão obtida dá o tempo em meses porque usamos 1 mês como a unidade ao aplicar a condição
.
Avaliação numérica:
logo
e
Força aí — resultado intuitivo: se a bola perde metade da massa em 1 mês, por causa da dependência área/volume ela não leva infinitamente mais para sumir; leva um tempo finito cerca de 4,85 meses para desaparecer totalmente.