Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de
. Três minutos depois, sua temperatura passa para
. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a
, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for exatamente de
? (Lei do resfriamento de Newton).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um bolo sai do forno com 300°F e, após 3 minutos, sua temperatura cai para 200°F. Queremos saber quanto tempo levará para a temperatura chegar a 150°F, sabendo que a temperatura ambiente é 70°F. Vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a modelar como a temperatura de um objeto muda com o tempo em relação à temperatura ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton:
Aqui:
- $ T(t) $ é a temperatura do objeto no tempo $ t $.
- $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente.
- $ T_0 $ é a temperatura inicial do objeto.
- $ k $ é a constante de resfriamento.
- $ t $ é o tempo.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- $ T_0 = 300^\circ \mathrm{F} $
- Após 3 minutos, $ T(3) = 200^\circ \mathrm{F} $
- $ T_{amb} = 70^\circ \mathrm{F} $
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ T(t) = 150^\circ \mathrm{F} $.
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar a constante $ k $. Vamos usar os valores que temos para isso. Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 230:
Passo 5
Para resolver para $ k $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Então:
Calculando o valor numérico:
Primeiro, calculamos $ \frac{13}{23} $:
Então:
Portanto:
Passo 6
Agora que temos $ k $, podemos usar a fórmula para encontrar o tempo $ t $ quando $ T(t) = 150^\circ \mathrm{F} $:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 230:
Passo 7
Aplicando o logaritmo natural para resolver para $ t $:
Calculando:
Então:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Finalmente, dividindo ambos os lados por 0,1897:
Resposta
Levará aproximadamente 5,57 minutos para a temperatura do bolo chegar a
.