Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300^circ F. Três minutos depois, sua temperatura passa para 200^circ F. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 150^circ F, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for exatamente de 70^circ F? (Lei do resfriamento de Newton).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um bolo sai do forno com 300°F e, após 3 minutos, sua temperatura cai para 200°F. Queremos saber quanto tempo levará para a temperatura chegar a 150°F, sabendo que a temperatura ambiente é 70°F. Vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a modelar como a temperatura de um objeto muda com o tempo em relação à temperatura ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton:
T(t) = Tamb + (T0 - Tamb) e^-kt
Aqui:
  • $ T(t) $ é a temperatura do objeto no tempo $ t $.
  • $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente.
  • $ T_0 $ é a temperatura inicial do objeto.
  • $ k $ é a constante de resfriamento.
  • $ t $ é o tempo.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • $ T_0 = 300^\circ \mathrm{F} $
  • Após 3 minutos, $ T(3) = 200^\circ \mathrm{F} $
  • $ T_{amb} = 70^\circ \mathrm{F} $
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ T(t) = 150^\circ \mathrm{F} $.

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar a constante $ k $. Vamos usar os valores que temos para isso. Substituindo na fórmula:
k
Simplificando:
200 = 70 + (300 - 70) e^-k cdot 3
200 - 70 = 230 e^-3k
Dividindo ambos os lados por 230:
130 = 230 e^-3k
130230 = e^-3k

Passo 5

Para resolver para $ k $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
k
Então:
ln(1323) = -3k
Calculando o valor numérico:
Primeiro, calculamos $ \frac{13}{23} $:
k = -13 ln(1323)
Então:
1323
Portanto:
1323 approx 0,5652

Passo 6

Agora que temos $ k $, podemos usar a fórmula para encontrar o tempo $ t $ quando $ T(t) = 150^\circ \mathrm{F} $:
k
Simplificando:
t
T(t) = 150^circ F
Dividindo ambos os lados por 230:
150 = 70 + (300 - 70) e^-0,1897 t
150 - 70 = 230 e^-0,1897 t

Passo 7

Aplicando o logaritmo natural para resolver para $ t $:
t
Calculando:
ln(0,3478) = -0,1897 t
Então:
ln(0,3478) approx -1,058
Multiplicando ambos os lados por -1:
-1,058 = -0,1897 t
Finalmente, dividindo ambos os lados por 0,1897:
1,058 = 0,1897 t

Resposta

Levará aproximadamente 5,57 minutos para a temperatura do bolo chegar a 150^circ F.

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